colégio naval

5x² + 11y² = 876543

5x² + 10y² + y² = 175308 .  5 + 3

5 . (x² + 2y² - 175308) = 3 - y²

x² + 2y² - 175308 = (3 - y²)/5

Se o lado esquerdo é  inteiro, o lado direito também é, ou seja, 5 divide 3 - y²

Todo inteiro pode ser representado por:

5k, 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, 5k + 4 com k inteiro

Se y é da forma 5k, temos

3 - y² = 3 - 25k²

5 Não dividiria esse número, pois ele divide 25k², mas não dividiria 3.

Se y = 5k = 1

3 - y² = 3 - 5 . (5k² + 2k) - 1 = 2 - 5 . (5k² + 2k)

5 Não dividiria esse número, pois 5 divide 5 .(5k² + 2k), mas não dividiria 2

Se y = 5k + 2

3 - y² = 3 - 5 . (5k² + 4k) - 4 = -1 - 5 . (5k² + 4k)

5 Não dividiria esse número, pois ele dividiria 5 . (5k² + 4k), mas não dividiria -1

Se y = 5k + 3

3 - y² = 3 - 5 . (5k² + 6k) - 9 = - 6  - 5 . (5k² + 6k)

5 Não dividiria esse número, pois ele dividiria 5 . (5k² + 6k), mas não dividiria -6

Se y = 5k + 4

3 - y² = 3 - 5 . (5k² + 8k) - 16 = - 13 - 5 . (5k² + 8k)

5 Não dividiria esse número, pois ele dividiria 5 . (5k² + 8k), mas não 13.

Logo não existe soluções

Alternativa (A)