Questão de potenciação - multiplicidade

por SnoopLy Dom 24 Set 2017, 14:25

$2^{70}+3^{70}=n$

n é múltiplo de?

por **fantecele** Ter 26 Set 2017, 19:05

Irei utilizar a seguinte ideia:
Se n for um número ímpar então x^n + y^n é divisível por x+y. Para provar é bem simples, veja:
x+y ≡ 0 (mod x+y)
x ≡ - y (mod x+y)
Sendo n ímpar:
x^n ≡ -y^n (mod x+y)
x^n+y^n ≡ 0 (mod x+y)

No exercício:

$\\2^{70}+3^{70}\\4^{35}+9^{35}$

Perceba que 35 é um número ímpar, então, da ideia que digitei ali em cima, temos que 4^35 + 9^35 é divisível por 4+9 = 13, dessa forma tiramos que 2^70 + 3^70 é divisível por 13, portanto n é múltiplo de 13.