Qual o diâmetro da panela?
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Qual o diâmetro da panela?
Qual deve ser o diâmetro de uma panela de alumínio com capacidade de 58cm3, cuja construção requer o mínimo de alumínio (a) se a panela não tem tampa, (b) se tem tampa.
Luiz 2017- Mestre Jedi
- Mensagens : 693
Data de inscrição : 21/05/2017
Idade : 75
Localização : Vitória, ES.
Re: Qual o diâmetro da panela?
Supondo que a panela seja um cilindro perfeito.:
Seu volume será dado por:
COM TAMPA:
58 = phi*r^2*h ----> 58 / (phi*r^2) = h (VOLUME DO CILINDRO) (I)
a(r) = 2*phi*r*h + 2*phi*r^2 (ÁREA DAS SUPERFÍCIES LATERAIS DO CILINDRO) (II)
Substituindo I em II
a(r) = (2*58) / r + 2*phi*r^2
Agora temos que descobrir o valor de mínimo global dessa função.:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2*58)+%2F+r+%2B+2*%CF%80*r%5E2
O wolfgram alpha aponta para um valor próximo de 2,1cm, logo o diâmetro ótimo será 4,2cm.
SEM TAMPA:
Linha de raciocínio análoga ao do Com tampa.
58 = phi*r^2*h ----> 58 / (phi*r^2) = h (VOLUME DO CILINDRO) (I)
a(r) = 2*phi*r*h + phi*r^2 (ÁREA DAS SUPERFÍCIES LATERAIS DO CILINDRO) (II)
a(r) = (58*2)/r + phi*r^2
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2*58)+%2F+r+%2B+%CF%80*r%5E2
MÍNIMO GLOBAL: ~2,64cm, o diâmetro ótimo seria 5,28cm.
DETALHE IMPORTANTE: Como não existe dimensões negativas de uma panela, não vamos considerar os valores negativos dos gráficos.
Espero ter ajudado
Seu volume será dado por:
COM TAMPA:
58 = phi*r^2*h ----> 58 / (phi*r^2) = h (VOLUME DO CILINDRO) (I)
a(r) = 2*phi*r*h + 2*phi*r^2 (ÁREA DAS SUPERFÍCIES LATERAIS DO CILINDRO) (II)
Substituindo I em II
a(r) = (2*58) / r + 2*phi*r^2
Agora temos que descobrir o valor de mínimo global dessa função.:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2*58)+%2F+r+%2B+2*%CF%80*r%5E2
O wolfgram alpha aponta para um valor próximo de 2,1cm, logo o diâmetro ótimo será 4,2cm.
SEM TAMPA:
Linha de raciocínio análoga ao do Com tampa.
58 = phi*r^2*h ----> 58 / (phi*r^2) = h (VOLUME DO CILINDRO) (I)
a(r) = 2*phi*r*h + phi*r^2 (ÁREA DAS SUPERFÍCIES LATERAIS DO CILINDRO) (II)
a(r) = (58*2)/r + phi*r^2
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2*58)+%2F+r+%2B+%CF%80*r%5E2
MÍNIMO GLOBAL: ~2,64cm, o diâmetro ótimo seria 5,28cm.
DETALHE IMPORTANTE: Como não existe dimensões negativas de uma panela, não vamos considerar os valores negativos dos gráficos.
Espero ter ajudado
SergioEngAutomacao- Jedi
- Mensagens : 407
Data de inscrição : 04/06/2017
Idade : 27
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Re: Qual o diâmetro da panela?
Olá Sérgio. Não conferi os cálculos intermediários mas o resultado final está corretíssimo.
Abraços.
Abraços.
Luiz 2017- Mestre Jedi
- Mensagens : 693
Data de inscrição : 21/05/2017
Idade : 75
Localização : Vitória, ES.
Re: Qual o diâmetro da panela?
Luiz 2017 escreveu:Qual deve ser o diâmetro de uma panela de alumínio com capacidade de 58cm3, cuja construção requer o mínimo de alumínio (a) se a panela não tem tampa, (b) se tem tampa.
Aqui uma solução simples sem ajuda do Wolfram-Alpha:
Seja a panela cilíndrica com volume V, diâmetro D e altura H.
O volume do cilindro é dado por:
Portanto a altura é dada por:
1) No caso da panela sem tampa:
A superfície total da panelas sem tampa (S) será a superfíce do fundo mais a superfície da parede lateral, ou seja:
Substituindo (1) em (2):
Se a panela deverá gastar o mínimo de material (alumínio), e o princípio dos máximos e dos mínimos diz que uma função algébrica passará por um máximo ou por um mínimo quando sua derivada for zero, então:
Portanto, sendo V constante:
Daí, com V = 58 cm3, tem-se:
2) No caso da panela com tampa:
A superfície total da panelas com tampa (S) será a superfíce do fundo mais a superfície da parede lateral mais a superfície da tampa, ou seja:
Substituindo (1) em (3):
Se a panela deverá gastar o mínimo de material, e o princípio dos máximos e dos mínimos diz que uma função algébrica passará por um máximo ou por um mínimo quando sua derivada for zero, então:
Portanto, sendo V constante:
Daí, com V = 58 cm3, tem-se:
Luiz 2017- Mestre Jedi
- Mensagens : 693
Data de inscrição : 21/05/2017
Idade : 75
Localização : Vitória, ES.
Re: Qual o diâmetro da panela?
Luiz 2017 escreveu:Luiz 2017 escreveu:Qual deve ser o diâmetro de uma panela de alumínio com capacidade de 58cm3, cuja construção requer o mínimo de alumínio (a) se a panela não tem tampa, (b) se tem tampa.
Aqui uma solução simples sem ajuda do Wolfram-Alpha:
Seja a panela cilíndrica com volume V, diâmetro D e altura H.
O volume do cilindro é dado por:V = \frac {\pi D^2 H}{4}
Portanto a altura é dada por:H = \frac {4V}{\pi D^2} \text { ........................... (1)}
1) No caso da panela sem tampa:
A superfície total da panelas sem tampa (S) será a superfíce do fundo mais a superfície da parede lateral, ou seja:S = \frac {\pi D^2}{4} + \pi D H \text { ........................ (2)}
Substituindo (1) em (2):S = \frac {\pi D^2}{4} + \pi D \cdot \frac {4 V}{\pi D^2} S = \frac {\pi D^2}{4} + \frac {4 V}{D}
Se a panela deverá gastar o mínimo de material (alumínio), e o princípio dos máximos e dos mínimos diz que uma função algébrica passará por um máximo ou por um mínimo quando sua derivada for zero, então:\frac {dS}{dD} = 0
Portanto, sendo V constante:\frac {dS}{dD} = \frac {2 \pi D}{4} - \frac {4 V}{D^2} = 0 \frac {\pi}{2}D - \frac {4 V}{D^2} = 0 \frac {\pi}{2}D^3 - 4V = 0 D = \sqrt[3] { \frac {8V}{\pi} }
Daí, com V = 58 cm3, tem-se:D = \sqrt[3] { \frac {8 \times 58}{\pi} } D = \sqrt[3] { \frac{464}{\pi} } \boxed{ D = 5,28 cm }
2) No caso da panela com tampa:
A superfície total da panelas com tampa (S) será a superfíce do fundo mais a superfície da parede lateral mais a superfície da tampa, ou seja:S = 2 \cdot \frac {\pi D^2}{4} + \pi D H \text { ................... (3)}
Substituindo (1) em (3):S = 2 \cdot \frac {\pi D^2}{4} + \pi D \cdot \frac {4 V}{\pi D^2} S = \frac {\pi D^2}{2} + \frac {4 V}{D}
Se a panela deverá gastar o mínimo de material, e o princípio dos máximos e dos mínimos diz que uma função algébrica passará por um máximo ou por um mínimo quando sua derivada for zero, então:\frac {dS}{dD} = 0
Portanto, sendo V constante:\frac {dS}{dD} = \frac {2 \pi D}{2} - \frac {4 V}{D^2} = 0 \pi D - \frac {4 V}{D^2} = 0 \pi D^3 - 4V = 0 D = \sqrt[3] { \frac {4V}{\pi} }
Daí, com V = 58 cm3, tem-se:D = \sqrt[3] { \frac {4 \times 58}{\pi} } D = \sqrt[3] { \frac{232}{\pi} } \boxed{ D = 4,20 cm }
A ideia de usar o wolfgram alpha seria para simplificar o trabalho com os cálculos, como feito nessa solução, você poderia usar derivadas para obter o mínimo global.
Abraço.
SergioEngAutomacao- Jedi
- Mensagens : 407
Data de inscrição : 04/06/2017
Idade : 27
Localização : Curitiba
Re: Qual o diâmetro da panela?
SergioEngAutomacao escreveu:Supondo que a panela seja um cilindro perfeito.:
Seu volume será dado por:
COM TAMPA:
58 = phi*r^2*h ----> 58 / (phi*r^2) = h (VOLUME DO CILINDRO) (I)
a(r) = 2*phi*r*h + 2*phi*r^2 (ÁREA DAS SUPERFÍCIES LATERAIS DO CILINDRO) (II)
Substituindo I em II
a(r) = (2*58) / r + 2*phi*r^2
Agora temos que descobrir o valor de mínimo global dessa função.:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2*58)+%2F+r+%2B+2*%CF%80*r%5E2
O wolfgram alpha aponta para um valor próximo de 2,1cm, logo o diâmetro ótimo será 4,2cm.
SEM TAMPA:
Linha de raciocínio análoga ao do Com tampa.
58 = phi*r^2*h ----> 58 / (phi*r^2) = h (VOLUME DO CILINDRO) (I)
a(r) = 2*phi*r*h + phi*r^2 (ÁREA DAS SUPERFÍCIES LATERAIS DO CILINDRO) (II)
a(r) = (58*2)/r + phi*r^2
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2*58)+%2F+r+%2B+%CF%80*r%5E2
MÍNIMO GLOBAL: ~2,64cm, o diâmetro ótimo seria 5,28cm.
DETALHE IMPORTANTE: Como não existe dimensões negativas de uma panela, não vamos considerar os valores negativos dos gráficos.
Espero ter ajudado
Sérgio, estive examinando os cálculos intermediários, com tampa. Quando você diz:
"Agora temos que descobrir o valor de mínimo global dessa função.:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2*58)+%2F+r+%2B+2*%CF%80*r%5E2
O wolfgram alpha aponta para um valor próximo de 2,1cm, logo o diâmetro ótimo será 4,2cm."
vejo neste link que o Wolfram não aponta para algo próximo de 2,1 e sim para aproximadamente -2,6.
Como você conseguiu transformar -2,6 em 2,1?
Talvez o link melhor seja este:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=min+(2*58)+%2F+r+%2B+2*%CF%80*r%5E2
que realmente aponta para 2,1. Ou estou enganado?
Luiz 2017- Mestre Jedi
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Localização : Vitória, ES.
Re: Qual o diâmetro da panela?
Luiz 2017 escreveu:SergioEngAutomacao escreveu:Supondo que a panela seja um cilindro perfeito.:
Seu volume será dado por:
COM TAMPA:
58 = phi*r^2*h ----> 58 / (phi*r^2) = h (VOLUME DO CILINDRO) (I)
a(r) = 2*phi*r*h + 2*phi*r^2 (ÁREA DAS SUPERFÍCIES LATERAIS DO CILINDRO) (II)
Substituindo I em II
a(r) = (2*58) / r + 2*phi*r^2
Agora temos que descobrir o valor de mínimo global dessa função.:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2*58)+%2F+r+%2B+2*%CF%80*r%5E2
O wolfgram alpha aponta para um valor próximo de 2,1cm, logo o diâmetro ótimo será 4,2cm.
SEM TAMPA:
Linha de raciocínio análoga ao do Com tampa.
58 = phi*r^2*h ----> 58 / (phi*r^2) = h (VOLUME DO CILINDRO) (I)
a(r) = 2*phi*r*h + phi*r^2 (ÁREA DAS SUPERFÍCIES LATERAIS DO CILINDRO) (II)
a(r) = (58*2)/r + phi*r^2
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2*58)+%2F+r+%2B+%CF%80*r%5E2
MÍNIMO GLOBAL: ~2,64cm, o diâmetro ótimo seria 5,28cm.
DETALHE IMPORTANTE: Como não existe dimensões negativas de uma panela, não vamos considerar os valores negativos dos gráficos.
Espero ter ajudado
Sérgio, estive examinando os cálculos intermediários, com tampa. Quando você diz:
"Agora temos que descobrir o valor de mínimo global dessa função.:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2*58)+%2F+r+%2B+2*%CF%80*r%5E2
O wolfgram alpha aponta para um valor próximo de 2,1cm, logo o diâmetro ótimo será 4,2cm."
vejo neste link que o Wolfram não aponta para algo próximo de 2,1 e sim para aproximadamente -2,6.
Como você conseguiu transformar -2,6 em 2,1?
Talvez o link melhor seja este:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=min+(2*58)+%2F+r+%2B+2*%CF%80*r%5E2
que realmente aponta para 2,1. Ou estou enganado?
Abaixe um pouco a página e estará escrito "Local minimum: (29/phi)^(1/3)", esse valor é próximo de 2.1.
SergioEngAutomacao- Jedi
- Mensagens : 407
Data de inscrição : 04/06/2017
Idade : 27
Localização : Curitiba
Re: Qual o diâmetro da panela?
SergioEngAutomacao escreveu:Luiz 2017 escreveu:
Sérgio, estive examinando os cálculos intermediários, com tampa. Quando você diz:
"Agora temos que descobrir o valor de mínimo global dessa função.:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2*58)+%2F+r+%2B+2*%CF%80*r%5E2
O wolfgram alpha aponta para um valor próximo de 2,1cm, logo o diâmetro ótimo será 4,2cm."
vejo neste link que o Wolfram não aponta para algo próximo de 2,1 e sim para aproximadamente -2,6.
Como você conseguiu transformar -2,6 em 2,1?
Talvez o link melhor seja este:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=min+(2*58)+%2F+r+%2B+2*%CF%80*r%5E2
que realmente aponta para 2,1. Ou estou enganado?
Abaixe um pouco a página e estará escrito "Local minimum: (29/phi)^(1/3)", esse valor é próximo de 2.1.
Então foi um equívoco.
Luiz 2017- Mestre Jedi
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Data de inscrição : 21/05/2017
Idade : 75
Localização : Vitória, ES.
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