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Qual o diâmetro da panela?

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Qual o diâmetro da panela? Empty Qual o diâmetro da panela?

Mensagem por Luiz 2017 Sex 25 Ago 2017, 16:20

Qual deve ser o diâmetro de uma panela de alumínio com capacidade de 58cm3, cuja construção requer o mínimo de alumínio (a) se a panela não tem tampa, (b) se tem tampa.

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Qual o diâmetro da panela? Empty Re: Qual o diâmetro da panela?

Mensagem por SergioEngAutomacao Sáb 26 Ago 2017, 21:43

Supondo que a panela seja um cilindro perfeito.:

Seu volume será dado por:

COM TAMPA:

58 = phi*r^2*h ----> 58 / (phi*r^2) = h (VOLUME DO CILINDRO) (I)

a(r) = 2*phi*r*h + 2*phi*r^2 (ÁREA DAS SUPERFÍCIES LATERAIS DO CILINDRO) (II)

Substituindo I em II

a(r) = (2*58) / r + 2*phi*r^2 

Agora temos que descobrir o valor de mínimo global dessa função.:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2*58)+%2F+r+%2B+2*%CF%80*r%5E2

O wolfgram alpha aponta para um valor próximo de 2,1cm, logo o diâmetro ótimo será 4,2cm.

SEM TAMPA:
Linha de raciocínio análoga ao do Com tampa.

58 = phi*r^2*h ----> 58 / (phi*r^2) = h (VOLUME DO CILINDRO) (I)

a(r) = 2*phi*r*h + phi*r^2 (ÁREA DAS SUPERFÍCIES LATERAIS DO CILINDRO) (II)


a(r) = (58*2)/r + phi*r^2

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2*58)+%2F+r+%2B+%CF%80*r%5E2

MÍNIMO GLOBAL: ~2,64cm, o diâmetro ótimo seria 5,28cm.

DETALHE IMPORTANTE: Como não existe dimensões negativas de uma panela, não vamos considerar os valores negativos dos gráficos.

Espero ter ajudado
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Qual o diâmetro da panela? Empty Re: Qual o diâmetro da panela?

Mensagem por Luiz 2017 Sáb 26 Ago 2017, 22:41

Olá Sérgio. Não conferi os cálculos intermediários mas o resultado final está corretíssimo.

Abraços.

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Qual o diâmetro da panela? Empty Re: Qual o diâmetro da panela?

Mensagem por Luiz 2017 Dom 27 Ago 2017, 00:36

Luiz 2017 escreveu:Qual deve ser o diâmetro de uma panela de alumínio com capacidade de 58cm3, cuja construção requer o mínimo de alumínio (a) se a panela não tem tampa, (b) se tem tampa.




Aqui uma solução simples sem ajuda do Wolfram-Alpha:

Seja a panela cilíndrica com volume V, diâmetro D e altura H.

O volume do cilindro é dado por:

V = \frac {\pi D^2 H}{4}

Portanto a altura é dada por:

H = \frac {4V}{\pi D^2} \text { ........................... (1)}


1) No caso da panela sem tampa:

A superfície total da panelas sem tampa (S) será a superfíce do fundo mais a superfície da parede lateral, ou seja:

S = \frac {\pi D^2}{4} + \pi D H \text { ........................  (2)}

Substituindo (1) em (2):

S = \frac {\pi D^2}{4} + \pi D \cdot \frac {4 V}{\pi D^2}

S = \frac {\pi D^2}{4} + \frac {4 V}{D}

Se a panela deverá gastar o mínimo de material (alumínio), e o princípio dos máximos e dos mínimos diz que uma função algébrica passará por um máximo ou por um mínimo quando sua derivada for zero, então:

\frac {dS}{dD} = 0

Portanto, sendo V constante:

\frac {dS}{dD} = \frac {2 \pi D}{4} - \frac {4 V}{D^2} = 0

\frac {\pi}{2}D - \frac {4 V}{D^2} = 0

\frac {\pi}{2}D^3 - 4V = 0

D = \sqrt[3] { \frac {8V}{\pi} }

Daí, com V = 58 cm3, tem-se:

D = \sqrt[3] { \frac {8 \times 58}{\pi} }

D = \sqrt[3] { \frac{464}{\pi} }

\boxed{ D = 5,28 cm }


2) No caso da panela com tampa:

A superfície total da panelas com tampa (S) será a superfíce do fundo mais a superfície da parede lateral mais a superfície da tampa, ou seja:

S = 2 \cdot \frac {\pi D^2}{4} + \pi D H \text { ...................  (3)}

Substituindo (1) em (3):

S = 2 \cdot \frac {\pi D^2}{4} + \pi D \cdot \frac {4 V}{\pi D^2}

S = \frac {\pi D^2}{2} + \frac {4 V}{D}

Se a panela deverá gastar o mínimo de material, e o princípio dos máximos e dos mínimos diz que uma função algébrica passará por um máximo ou por um mínimo quando sua derivada for zero, então:

\frac {dS}{dD} = 0

Portanto, sendo V constante:

\frac {dS}{dD} = \frac {2 \pi D}{2} - \frac {4 V}{D^2} = 0

\pi D - \frac {4 V}{D^2} = 0

\pi D^3 - 4V = 0

D = \sqrt[3] { \frac {4V}{\pi} }

Daí, com V = 58 cm3, tem-se:

D = \sqrt[3] { \frac {4 \times 58}{\pi} }

D = \sqrt[3] { \frac{232}{\pi} }

\boxed{ D = 4,20 cm }

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Qual o diâmetro da panela? Empty Re: Qual o diâmetro da panela?

Mensagem por SergioEngAutomacao Dom 27 Ago 2017, 11:11

Luiz 2017 escreveu:
Luiz 2017 escreveu:Qual deve ser o diâmetro de uma panela de alumínio com capacidade de 58cm3, cuja construção requer o mínimo de alumínio (a) se a panela não tem tampa, (b) se tem tampa.




Aqui uma solução simples sem ajuda do Wolfram-Alpha:

Seja a panela cilíndrica com volume V, diâmetro D e altura H.

O volume do cilindro é dado por:

V = \frac {\pi D^2 H}{4}

Portanto a altura é dada por:

H = \frac {4V}{\pi D^2} \text { ........................... (1)}


1) No caso da panela sem tampa:

A superfície total da panelas sem tampa (S) será a superfíce do fundo mais a superfície da parede lateral, ou seja:

S = \frac {\pi D^2}{4} + \pi D H \text { ........................  (2)}

Substituindo (1) em (2):

S = \frac {\pi D^2}{4} + \pi D \cdot \frac {4 V}{\pi D^2}

S = \frac {\pi D^2}{4} + \frac {4 V}{D}

Se a panela deverá gastar o mínimo de material (alumínio), e o princípio dos máximos e dos mínimos diz que uma função algébrica passará por um máximo ou por um mínimo quando sua derivada for zero, então:

\frac {dS}{dD} = 0

Portanto, sendo V constante:

\frac {dS}{dD} = \frac {2 \pi D}{4} - \frac {4 V}{D^2} = 0

\frac {\pi}{2}D - \frac {4 V}{D^2} = 0

\frac {\pi}{2}D^3 - 4V = 0

D = \sqrt[3] { \frac {8V}{\pi} }

Daí, com V = 58 cm3, tem-se:

D = \sqrt[3] { \frac {8 \times 58}{\pi} }

D = \sqrt[3] { \frac{464}{\pi} }

\boxed{ D = 5,28 cm }


2) No caso da panela com tampa:

A superfície total da panelas com tampa (S) será a superfíce do fundo mais a superfície da parede lateral mais a superfície da tampa, ou seja:

S = 2 \cdot \frac {\pi D^2}{4} + \pi D H \text { ...................  (3)}

Substituindo (1) em (3):

S = 2 \cdot \frac {\pi D^2}{4} + \pi D \cdot \frac {4 V}{\pi D^2}

S = \frac {\pi D^2}{2} + \frac {4 V}{D}

Se a panela deverá gastar o mínimo de material, e o princípio dos máximos e dos mínimos diz que uma função algébrica passará por um máximo ou por um mínimo quando sua derivada for zero, então:

\frac {dS}{dD} = 0

Portanto, sendo V constante:

\frac {dS}{dD} = \frac {2 \pi D}{2} - \frac {4 V}{D^2} = 0

\pi D - \frac {4 V}{D^2} = 0

\pi D^3 - 4V = 0

D = \sqrt[3] { \frac {4V}{\pi} }

Daí, com V = 58 cm3, tem-se:

D = \sqrt[3] { \frac {4 \times 58}{\pi} }

D = \sqrt[3] { \frac{232}{\pi} }

\boxed{ D = 4,20 cm }

A ideia de usar o wolfgram alpha seria para simplificar o trabalho com os cálculos, como feito nessa solução, você poderia usar derivadas para obter o mínimo global.

Abraço.
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Qual o diâmetro da panela? Empty Re: Qual o diâmetro da panela?

Mensagem por Luiz 2017 Qua 30 Ago 2017, 14:00

SergioEngAutomacao escreveu:Supondo que a panela seja um cilindro perfeito.:

Seu volume será dado por:

COM TAMPA:

58 = phi*r^2*h ----> 58 / (phi*r^2) = h (VOLUME DO CILINDRO) (I)

a(r) = 2*phi*r*h + 2*phi*r^2 (ÁREA DAS SUPERFÍCIES LATERAIS DO CILINDRO) (II)

Substituindo I em II

a(r) = (2*58) / r + 2*phi*r^2 

Agora temos que descobrir o valor de mínimo global dessa função.:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2*58)+%2F+r+%2B+2*%CF%80*r%5E2

O wolfgram alpha aponta para um valor próximo de 2,1cm, logo o diâmetro ótimo será 4,2cm.

SEM TAMPA:
Linha de raciocínio análoga ao do Com tampa.

58 = phi*r^2*h ----> 58 / (phi*r^2) = h (VOLUME DO CILINDRO) (I)

a(r) = 2*phi*r*h + phi*r^2 (ÁREA DAS SUPERFÍCIES LATERAIS DO CILINDRO) (II)


a(r) = (58*2)/r + phi*r^2

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2*58)+%2F+r+%2B+%CF%80*r%5E2

MÍNIMO GLOBAL: ~2,64cm, o diâmetro ótimo seria 5,28cm.

DETALHE IMPORTANTE: Como não existe dimensões negativas de uma panela, não vamos considerar os valores negativos dos gráficos.

Espero ter ajudado


Sérgio, estive examinando os cálculos intermediários, com tampa. Quando você diz:

"Agora temos que descobrir o valor de mínimo global dessa função.:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2*58)+%2F+r+%2B+2*%CF%80*r%5E2
O wolfgram alpha aponta para um valor próximo de 2,1cm, logo o diâmetro ótimo será 4,2cm."

vejo neste link que o Wolfram não aponta para algo próximo de 2,1 e sim para aproximadamente -2,6.

Como você conseguiu transformar -2,6 em 2,1?

Talvez o link melhor seja este:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=min+(2*58)+%2F+r+%2B+2*%CF%80*r%5E2

que realmente aponta para 2,1. Ou estou enganado?

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Qual o diâmetro da panela? Empty Re: Qual o diâmetro da panela?

Mensagem por SergioEngAutomacao Qua 30 Ago 2017, 17:51

Luiz 2017 escreveu:
SergioEngAutomacao escreveu:Supondo que a panela seja um cilindro perfeito.:

Seu volume será dado por:

COM TAMPA:

58 = phi*r^2*h ----> 58 / (phi*r^2) = h (VOLUME DO CILINDRO) (I)

a(r) = 2*phi*r*h + 2*phi*r^2 (ÁREA DAS SUPERFÍCIES LATERAIS DO CILINDRO) (II)

Substituindo I em II

a(r) = (2*58) / r + 2*phi*r^2 

Agora temos que descobrir o valor de mínimo global dessa função.:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2*58)+%2F+r+%2B+2*%CF%80*r%5E2

O wolfgram alpha aponta para um valor próximo de 2,1cm, logo o diâmetro ótimo será 4,2cm.

SEM TAMPA:
Linha de raciocínio análoga ao do Com tampa.

58 = phi*r^2*h ----> 58 / (phi*r^2) = h (VOLUME DO CILINDRO) (I)

a(r) = 2*phi*r*h + phi*r^2 (ÁREA DAS SUPERFÍCIES LATERAIS DO CILINDRO) (II)


a(r) = (58*2)/r + phi*r^2

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2*58)+%2F+r+%2B+%CF%80*r%5E2

MÍNIMO GLOBAL: ~2,64cm, o diâmetro ótimo seria 5,28cm.

DETALHE IMPORTANTE: Como não existe dimensões negativas de uma panela, não vamos considerar os valores negativos dos gráficos.

Espero ter ajudado


Sérgio, estive examinando os cálculos intermediários, com tampa. Quando você diz:

"Agora temos que descobrir o valor de mínimo global dessa função.:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2*58)+%2F+r+%2B+2*%CF%80*r%5E2
O wolfgram alpha aponta para um valor próximo de 2,1cm, logo o diâmetro ótimo será 4,2cm."

vejo neste link que o Wolfram não aponta para algo próximo de 2,1 e sim para aproximadamente -2,6.

Como você conseguiu transformar -2,6 em 2,1?

Talvez o link melhor seja este:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=min+(2*58)+%2F+r+%2B+2*%CF%80*r%5E2

que realmente aponta para 2,1. Ou estou enganado?

Abaixe um pouco a página e estará escrito "Local minimum: (29/phi)^(1/3)", esse valor é próximo de 2.1.
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Mensagem por Luiz 2017 Qua 30 Ago 2017, 20:19

SergioEngAutomacao escreveu:
Luiz 2017 escreveu:
Sérgio, estive examinando os cálculos intermediários, com tampa. Quando você diz:

"Agora temos que descobrir o valor de mínimo global dessa função.:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2*58)+%2F+r+%2B+2*%CF%80*r%5E2
O wolfgram alpha aponta para um valor próximo de 2,1cm, logo o diâmetro ótimo será 4,2cm."

vejo neste link que o Wolfram não aponta para algo próximo de 2,1 e sim para aproximadamente -2,6.

Como você conseguiu transformar -2,6 em 2,1?

Talvez o link melhor seja este:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=min+(2*58)+%2F+r+%2B+2*%CF%80*r%5E2

que realmente aponta para 2,1. Ou estou enganado?

Abaixe um pouco a página e estará escrito "Local minimum: (29/phi)^(1/3)", esse valor é próximo de 2.1.

Então foi um equívoco.

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