Números Complexos

A representação geométrica dos números complexos z que satisfazem a igualdade 2|z – i| = |z – 2| formam uma circunferência com raio r e centro no ponto com coordenadas (a, b). Calcule r, a e b e assinale 9(a^2 + b^2 + r^2 ). 












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R.: 40

2|z – i| = |z – 2| ---> z = x + y.i

2|x + y.i – i| = |x + y.i – 2|

2.|x + (y - 1).i| = |(x - 2) + y.i|

4.|x + (y - 1).i|² = |(x - 2) + y.i|²

4.[x² + (y - 1)²] = (x - 2)² + y²

3.x² + 3.y² - 8.y + 4.x = 0

Transforme agora numa equação do tipo (x - a)² + (y - b)² = r² e calcule a, b, r

-a circunferência será dada por (x-a)²+(y-b)² =r²
-o numero complexo é representado por z=x+yi
- relação Q=9(a² + b² + r² )
- a igualdade é 2|z – i| = |z – 2|
 assim, substituindo z temos que: 
2|x + i(y-1)| = |(x-2) + yi|
sabendo que |z|=sqrt(x² + y²), então:
2 sqrt(x² + (y-1)²) = sqrt((x-2)² + y²)
elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
4(x² + (y-1)²) = (x-2)² + y²)
fazendo os produtos notáveis e arrumando, temos que:
3x²+4x+3y²-8y=0
que corresponde a circunferência: (x+2/3)²+(y-4/3)²=20/9
identificando os termos conclui-se que:
a=-2/3, b=4/3 e r²=20/9
logo, da relação dada temos:
Q=9(4/9+16/9+20/9)
Q=40