(UFRGS) PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

Se n é um número natural ímpar, o número de elementos da sequência (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, ..., n, n, n (n vezes)) que são números pares é:

a) (n²-1)/4
b) (n²-1)/2
c) n(n+1)/4
d) n(n+1)/2
e) (n+1)²/4

Esta sequência, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, ..., sugere uma outra: 1, 2, 3, 4,... com o número de termos em cada grupo. A soma dos termos ímpares da segunda sequência é quantidade de termos ímpares da primeira.

Eu consegui observar isso, porém o número de termos da primeira sequência é ímpar, visto que n é ímpar
Portanto ao meu ver não bastaria simplesmente calcular a soma dos termos da segunda sequência citada pelo senhor e dividir por 2, visto que ela começaria por um ímpar (1) e terminaria em um ímpar (n), de modo que os pares seriam minoria, e não metade da sequência...

1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, -> n é par, tem 4 ímpares

1, 2, 2, 3, 3, 3, -> n é ímpar, tem 4 ímpares

1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 -> n é par, tem 4 ímpares e 4 pares

1, 2, 2, 3, 3, 3 -> n é ímpar, tem 4 ímpares e 2 pares...

E no enunciado é requisitado o número de pares

E no enunciado é requisitado o número de pares

De fato, eu fixei-me no oposto. Refazendo...

Esta sequência, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, ..., sugere uma outra: 1, 2, 3, 4,... com o número de termos em cada grupo. A soma dos termos pares da segunda sequência é quantidade de termos pares da primeira.

Mais um passo...

Muito obrigado!

Euclides, sua resposta fecha com o gabarito do Iezzi, porém não me convenço...

Perceba:
Se n=5, seguindo a fórmula que o senhor encontrou: (25-1)/2 = 12. Porém, se observássemos quantos pares encontram-se na função quando n é igual a 5, encontraremos apenas 6...

Usei outro método de resolução e encontrei a resposta (n²-1)/4

Construindo uma sequência da quantidade de pares na sequência em função da posição n, porém considerando apenas os valores pares de n têm-se a sequência:
(2,6,12,20...) que é um P.A. de segunda ordem.
Têm-se então o teorema: Se uma P.A. é de ordem n, sua equação do termo geral é uma equação polinomial de grau n.

Desse modo, concluí que a equação polinomial que fornece a quantidade de pares em função de valores de n é do tipo k.x² + j.x + y;

Então, pode-se montar um sistema linear de 3 equações, substituindo no lugar de x valores pares de n e igualando à quantidade de pares da sequência.

2 = k.4 + j.2 + y
6 = k.16 + j.4 + y
10 = k.36 + j.6 + y

Então, descobre-se que k=1/4, j=1/2 e y=0

Têm-se então a equação do termo geral: Número de pares = (x²+2x)/4 | x é um natural par.
Todavia, n é ímpar.
Então, o número de pares é dado por [(n-1)²+2.(n-1)]/4
Simplificando, teriamos a letra a: (n²-1)/4

Euclides escreveu:Mais um passo...

Euclides, o número de elementos dessa nova sequência é "(n - 1)/2" e não "n - 1".