aritmética elementar

por **abelardo** Dom 08 maio 2011, 17:22

A expressão $\dpi{120} (2\sqrt[]{3}+\sqrt[]{5})^5 - (2\sqrt[]{3}-\sqrt[]{5})^5$ é igual a:

(A) $\dpi{120} 2630\sqrt[]{5}$
(B) $\dpi{120} 2690\sqrt[]{5}$
(C) $\dpi{120} 2712\sqrt[]{5}$
(D) $\dpi{120} 1584\sqrt[]{15}$
(E) $\dpi{120} 1604\sqrt[]{15}$

Obs: Acho que alguns amigos do fórum já responderam essa questão, foi da prova do ITA do ano de 2009 ou 2010. Tentei desenvolver a expressão, mas existe a ''Identidade'' de Cauchy (n=5) para resolver a questão. ALguém saberia outra forma? Pelo wolfram, a resposta é letra b).

por **Victor M** Dom 08 maio 2011, 18:03

Chamando: 2√3 =a e √5 =b

(a +b)^5 - (a -b)^5

(a + b)^5 = a^5 + 5(a^4)b + 10a³b² + 10a²b³ + 5a(b^4) + b^5
como (a-b)^5 = [a +(-b)]^5
(a-b)^5 = a^5 - 5(a^4)b + 10a³b² - 10a²b³ + 5a(b^4) - b^5

Fazendo a subtração:

(a +b)^5 - (a -b)^5 = 10(a^4)b + 20a²b³ + 2(b^5)
Substituindo os valores:

(a +b)^5 - (a -b)^5 = 10*16*9*√5 + 20*4*3*5*√5 + 2*25*√5
(a +b)^5 - (a -b)^5= 1440√5 + 1200√5 + 50√5 = 2690√5

Alternativa B.

Cumprimentos, Victor M.

por **abelardo** Dom 08 maio 2011, 18:17

Victor, esse desenvolvimento da expressão tem alguma coisa relacionada a um trabalho de Newton? Já vi um cara falando sobre isso e ele citou o nome do gênio... mas como achei complicado demais a explicação, fechei a página e nunca mais vi nada parecido. Você teria algum link ou arquivo falando sobre isso?

por **Victor M** Dom 08 maio 2011, 18:27

Sim, para achar a fatoração de: (a +b)^5 utilizei o Binômio de Newton ( nesse link aqui explica como essa ferramenta funciona: http://www.algosobre.com.br/matematica/binomio-de-newton.html ),

Cumprimentos, Victor M.

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