Problema com fraçao

Um levantamento contabilizou 2 700 pessoas em um grupo
de alto risco para contrair determinado vírus, e constatou
que apenas 3/5 dessas pessoas já tinham recebido a vacina
específica. Para imunizar as pessoas restantes, foi programada
uma campanha com duração de y dias, de modo que
no primeiro dia seriam vacinadas 40 pessoas, e a cada dia
subsequente seriam vacinadas 20 pessoas a mais que o número
de pessoas vacinadas no dia anterior. Nessas condições,
y é igual a
(A) 6.
(B) 10.
(C) 8.
(D) 9.
(E) 12.

R: D

Olá!
Se 3/5 foram vacinadas, então 2/5 ainda não foram. Logo, as pessoas não vacinadas é dado por 2/5.2700 = 5400/5 = 1080.
Como as pessoas vacinadas seguem uma regularidade "40 no primeiro dia e nos dias subsequentes 20 pessoas a mais que no dia anterior", então temos uma progressão aritmética.
(40, 60, 80, ...)
a1 = 40; r = 20

Fórmula do termo geral: an = a1 + (n-1).r
Soma dos n termos de uma P.A: Sn = (a1 + an).n/2

De acordo com o problema, o valor de y equivale ao valor de n na P.A

Substituindo no termo geral, temos:
an = 40 + (y - 1).20 ---> an = 40 + 20y - 20 ---> an = 20 + 20y

Substituindo na soma dos n termos, temos:

1080 = (40 + 20 + 20y).y/2 ---> 2160 = 60y + 20y^2
Dividindo tudo por 20 e colocando todos os termos no mesmo membro da equação:

y^2 + 3y - 108 = 0

Resolvendo a equação do 2º grau, encontramos as raízes 9 e -12. Como não temos quantidade de dias negativos, logo y = 9.

Espero ter ajudado!