simetria para calcular o C.M da pirâmide

Alguém pode me ajudar? 
Como eu calculo o C.M do sub-sistema de particulas da base da pirâmide, e de todo o sistema (com as 5 particulas) por simetria. Exemplo: uma pirâmide com particulas de mesma massa dispostas em seus vétices, formada sobre um quadrado de lado a , onde a origem do sistema está localizado no vértice do topo da pirâmide com  altura h.

 

Resolverei o exemplo da figura só para facilitar as contas e a visualização, mas a solução segue sempre o mesmo padrão. Na figura, os eixos foram traçados no vértice debaixo. Usando a fórmula acima, temos que o centro de massa pode ser escrito como C.M.(Xc,Yc,Zc), de forma que:

\\\begin{cases}X_c=\frac{m.x_a+m.x_b+m.x_c+m.x_d+m.x_e}{5m}\;\;\;(1)\\Y_c=\frac{m.y_a+m.y_b+m.y_c+m.y_d+m.y_e}{5m}\;\;\;(2)\\Z_c=\frac{m.z_a+m.z_b+m.z_c+m.z_d+m.z_e}{5m}\;\;\;(3)\end{cases}\\\\\bullet\;(1):\\\\X_c=\frac{m.x_a+m.x_b+m.x_c+m.x_d+m.x_e}{5m}\;\to\;X_c=\frac{x_a+x_b+x_c+x_d+x_e}{5}\\\\X_c=\frac{a+a+\frac{a}{2}}{5}=\frac{a}{2}\\\\\bullet\;(2):\\\\Y_c=\frac{m.y_a+m.y_b+m.y_c+m.y_d+m.y_e}{5m}\;\to\;Y_c=\frac{y_a+y_b+y_c+y_d+y_e}{5}\\\\Y_c=\frac{h}{5}\\\\\bullet\;(3):\\\\Z_c=\frac{m.z_a+m.z_b+m.z_c+m.z_d+m.z_e}{5m}\;\to\;Z_c=\frac{z_a+z_b+z_c+z_d+z_e}{5}\\\\Z_c=\frac{a+a+\frac{a}{2}}{5}=\frac{a}{2}\\\\\text{logo:}\\\\\boxed{C.M.=(\frac{a}{2},\frac{h}{5},\frac{a}{2})}

Obrigada, mas eu preciso saber como calcular com o eixo no topo da pirâmide, Onde a altura ficará ( -h) no eixo z. Preciso provar que o resultado ficará o mesmo com a trasladação ...

Esse é o exercício : 
Considere o sistema de partıculas mostrado no figura (Que eu ñ estou conseguindo enviar). Todas as partıculas do sistema tem mesma massa e estão dispostas nos vertices de uma piramide formada sobre um quadrado de lado a, com o vertice do topo na origem do sistema de coordenadas, a uma altura h da base.
a) Use um argumento de simetria para determinar a posição do centro de massa do sub-sistema de partıculas da base.
b) Use a ideia explicada no texto (Decorre da definição de centro de massa que podemos subdividir um sistema de particulas em vários sub-conjuntos e obter o centro de massa do sistema completo a partir das posições dos centros de massa dos vários subconjuntos e suas respectivas massas totais) para determinar a posição do centro de massa do sistema com as 5 partıculas.

É simples, basta seguir o mesmo passo a passo do que eu fiz. Você precisa ter primeiro as coordenas de cada partícula, e depois substituir na fórmula escrita em (1), (2) e (3). Essa fórmula sempre vale, independente dos eixos adotados, e com ela você encontra as cordenas X_c, Y_c e Z_c do centro de massa. Porém, de qualquer forma, não é isso que a questão pede. Da próxima vez, poste o exercício junto com a sua dúvida. 


a) Basta dizer que para polígonos regulares, por simetria, o centro de massa do sistema coincide com o centro geométrico da figura, ou seja, o centro de massa do sub-sistema (as 4 partículas da base) está no centro do quadrado.

b) Podemos agora redesenhar o sistema de partículas, substituindo as quatro partículas da base por uma única de massa "4m" localizada sobre o centro da base. Calcular o centro de massa fica bem mais simples agora. Veja a figura:



Note que as coordenadas X_c e Y_c do centro de massa serão iguais a zero, pois ele está sobre o eixo z. Para calcular Z_c, vamos usar a fórmula em (3) na minha última postagem. Considerando o eixo tendo origem em A e sentido para cima, então z_a=0 e z_o=-h. Veja:

\\Z_c=\frac{m_a.z_a+m_o.z_o}{ma+mo}\\\\Z_c=\frac{m.0-4m.h}{m+4m}\;\to\;Z_c=-\frac{4h}{5}\\\\\boxed{C.M.=(0,0,-\frac{4h}{5})}