Álgebra

por Convidado Sex 30 Jun 2017, 13:36

Encontre o menor valor da expressão (x + y).(y + z), dado que x, y, z são números positivos que satisfazem a equação:
xyz.(x + y + z) = 1

por **Victor011** Sáb 01 Jul 2017, 20:34

\\E=(x+y)(y+z)\\\\=xy+xz+y^2+yz\\\\=xz+y(x+y+z)\\\\=\frac{(xz)^2+xyz(x+y+z)}{xz}\\\\=\frac{(xz)^2+1}{xz}\\\\=xz+\frac{1}{xz}\ge 2

Demostrarei o lema utilizado no final. Aconselho que decore o resultado, pois é muito importante e útil.

\\\text{Lema:}\;x+\frac{1}{x}\ge 2\;\;\;com\;x\ge 0\\\\\text{Demonstr\c{c}\~ao:}\\\\ (x-1)^2\ge 0\\\\\iff x^2-2x+1\ge 0\\\\\iff x-2+\frac{1}{x}\ge 0\\\\\iff x+\frac{1}{x}\ge 2\;\;\;c.q.d.

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