ordem dos números

Quantos elementos possui o conjunto dos números naturais com quatro algarismos iniciados pelo algarismo 9, de tal forma que, lidos da esquerda para a direita, estão em ordem estritamente decrescente? 

GABARITO: 84

Vamos definir quem é o último número, abrindo em alguns casos. Quando, por exemplo, terminar em 0:
9 _ _ 0 -->note que os 2 números do meio poderão ser números de 1 a 8, não podendo ser iguais. Ao escolher os dois números para preencher o meio, não precisamos nos preocupar com os possíveis "arranjos" dos mesmos, dado que só existe uma arrumação possível (o maior ir na frente). Dessa forma, quando termina em 0, teremos combinação de 8 escolhe 2. Analogamente, quando termina em 1, teremos combinação de 7 escolhe 2, quando termina em 2, teremos combinação de 6 escolhe 2, e assim por diante, até o caso em que termina em 6, onde teremos combinação de 2 escolhe 2. Somando os casos, pelo teorema das colunas do triângulo de Pascal, teremos que:

 \binom{8}{2}+\binom{7}{2}+\binom{6}{2}+\binom{5}{2}+\binom{4}{2}+\binom{3}{2}+\binom{2}{2}=\boxed{\binom{9}{3}=84}