EDO 2a ordem!!

Só uma pequena ajuda nessa EDO.

y''+y=4xcosx-2senx


grato desde já.

Cara! Esse é um tipo de equação não linear não homogênea, tem certeza que quer isso mesmo? Eu só vi uma forma de resolver isso que é por transformada de Laplace, que eu acharia bem mais prático. Se você me garantir que conhece a transformada de Laplace e a sua transformação inversa eu posto como chegar a solução. Se não me engano recorrer a métodos convencionais neste caso seria muito trabalhoso. Talvez vc teria que achar a solução da equação homogênea correspondente e fazer que y=V*W(produto de duas funções.
Vc acharia V=e^+-x
E depois substituiria na eq original cancelaria os termos e montaria uma eq linear para W. Dá para integrar ficando com uma eq de primeira ordem linear não homogênea. Dai vc pode fazer pelo método de integração(multiplicando tudo por uma função e determinando só uma derivada do lado que depende de w' e w). Isso daria um baita trabalho por isso é melhor recorrer a tranformada de laplace.

Da sim pra fazer por o metodo melhor,sem transformada,pq Laplace não é só com pvi?

Laplace é uma técnica com integração que pode ser utilizada com ampla escala nesse tipo de equação. Você também pode tentar expandir o lado direito em função das séries de taylor cosseno e seno, o que vai dar uma ´serie ímpar. Depois Faça y ser uma série ímpar e calcule os dois primeiros coeficientes da série igualando com a parte da somatória ímpar( trata-se de igualar coeficientes de mesma potência de x). Outro método, que é mais indicado para quando a eq é linear, é o dos coeficientes a determinar. Não sei se daria certo neste caso mas como se trata de um ponto de vista físico da equação de um oscilador harmônico sobre a ação de uma força externa, você poderia partir de um seno modificante , já que y será ímpar. Vou tentar fazer isso aqui, se der certo posto o procedimento.

blz..
Pelo que conseguir Fazer o Outro lado yp ficou assim

Yp=(ax+b)Cosx + (Cx+D) senx - E cosx - Fsenx


se for abrir isso,da pra cancelar,senos e cosenos,só que derivar primeira ordem e segunda ordem vai da trabalho.

A função y é ímpar. X cosc(x) do outro lado é ímpar, combinado com sen(x) continua sendo ímpar. Se y for ímpar da forma senóide, Y" continua sendo ímpar. Basta fazer uma combinação de senos pois ambos os lados são funções ímpares. Acredito que isso vai ajudar. Só uma perguntinha, de onde você tirou essa equação?

Por um metodo que meu professor ensinor a fazer.

Quando tem um polinomio do primeiro grau no caso 4x usa-se o ax+b,quando se tem senx ou cosx usa-se (Acosx+Bsenx)

Não, a eq diferencial.

Bom ele disse que dava para fazer por esse metodo =/

Bem...Consegui por um jeito relativamente fácil. O que vou fazer aqui não é um método bem convencional mas poderíamos proceder assim. Já coloquei acima os motivos desta função ter de ser uma combinação de funções ímpares a uma primeira análise. Usando o método que você explicitou acima, poderíamos fazer:
y=X^n * sen
N fica a determinar:

y''+y= n(n-1)X^n-2 * senx + 2n*X^n-1 * cosx - x^n senx - X^n * senx =4xcosx-2senx

Os dois últimos termos do lado esquerdo se cancelam e o que podemos fazer é igualar termos de mesma função em ambos os lados. Para que
2n*X^n-1 * cosx = 4xcosx
e que o termo que vai junto ao seno do lado esquerdo não seja uma função de x, teremos:
n=2. Desta forma:
y''+y= d(Sen(x) * X^2) = 4xcosx+2senx

Onde d é o operador derivada em relação a x. Como nossa equação é
y''+y=4xcosx-2senx
destaque ao sinal negativo, teremos que fazer a solução final da forma:
y=Sen(x) * X^2 + c(x)

onde c é uma função que substituindo na eq diferencial original:
C"+C=-4sen(x)

Para compensar o fator 2*senx de primeira parte da função.
Acredito que não há problemas com a solução desta última( basta escolher uma forma imaginária exponencial ou uma combinação de senos e cossenos e determinar os coeficientes para encontrar:
C=2xcos(x)+A cos(x) + B sen(x)
Onde A e B podem se enquadrar ás condições de contorno. Finalmente:

Y=Sen(x) * X^2 + 2xcos(x)+A cos(x) + B sen(x)

Que é a solução geral do problema.
Espero ter ajudado, alguma dúvida?