Somatório valor da função

por **Willian Honorio** Sex 16 Jun 2017, 16:12

Determine o valor da expressão:

$\\\\f\left (\frac{1}{2000} \right )+f\left (\frac{2}{2000} \right )+...+f\left (\frac{1999}{2000} \right )+f\left (\frac{2000}{2000} \right )+f\left (\frac{2000}{1999} \right )+...+f\left (\frac{2000}{1} \right )\\\\\text{dado:}\\f(x)=\frac{x^{2}}{1+x^{2}}$

por **fantecele** Sex 16 Jun 2017, 22:28

$\\f(x)=\frac{x}{x+x^{-1}}\\f(\frac{1}{2000})+f(\frac{2000}{1})=\frac{\frac{1}{2000}}{2000+\frac{1}{2000}}+\frac{2000}{\frac{1}{2000}+2000}=1\\f(\frac{2}{2000})+f(\frac{2000}{2})=\frac{\frac{2}{2000}}{\frac{2}{2000}+\frac{2000}{2}}+\frac{\frac{2000}{2}}{\frac{2}{2000}+\frac{2000}{2}}=1\\f(\frac{3}{2000})+f(\frac{2000}{3})=\frac{\frac{3}{2000}}{\frac{3}{2000}+\frac{2000}{3}}+\frac{\frac{2000}{3}}{\frac{3}{2000}+\frac{2000}{3}}=1\\...\\f(\frac{1999}{2000})+f(\frac{2000}{1999})=\frac{\frac{1999}{2000}}{\frac{1999}{2000}+\frac{2000}{1999}}+\frac{\frac{2000}{1999}}{\frac{1999}{2000}+\frac{2000}{1999}}=1$
$f(\frac{2000}{2000})=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$

Somando tudo iremos encontrar:

$\\f(\frac{1}{2000})+f(\frac{2}{2000})+...+f(\frac{1999}{2000})+f(\frac{2000}{2000})+f(\frac{2000}{1999})+...+f(\frac{2000}{1})=\frac{3999}{2}$