Função modular- dúvida

por Joao Kleber139 Ter 13 Jun 2017, 18:31

Olá, preciso de ajuda nesse exercício:

(Fuvest) Seja f(x) = |2x² – 1|, xER. Determine os valores de x para os quais f(x) < 1.

Analisei o caso 1: -2x²+1<1 e cheguei em x>0
Analisei o caso 2: 2x²-1<1 e cheguei em x<±1.

O gabarito apresenta a resposta como x entre -1 e 1, entretanto só consigo chegar em x entre 0 e 1, visto que x maior que 0 e menor que -1 é impossível.

Gostaria de saber como chego no gabarito, por favor.

por **Elcioschin** Ter 13 Jun 2017, 18:36

Você errou no caso 1: - 2.x² + 1 < 1 ---> - 2.x² < 0 ---> *(-1) ---> 2.x² > 0 --->

Qualquer valor real de x (diferente de zero) atende (pois x² é sempre positivo)

por Joao Kleber139 Ter 13 Jun 2017, 18:45

Obrigado, Elcioschin.

Analisando a questão com essa alteração chego em x<1 e x<-1.

Por que o x<±1 se "transforma" em x entre -1 e 1?

por **Elcioschin** Ter 13 Jun 2017, 18:53

Errou também no caso 2: 2.x² - 1 < 1 ---> 2.x² < 2 ---> x² < 1 ---> Raízes -1 e 1

A função do 1º membro é uma parábola com a concavidade voltada para cima.

Ela é negativa entre as raízes ---> - 1 < x < 1

por biologiaéchato Sáb 23 Dez 2017, 11:12

Entendi, muito obrigado Mestre Elcio.

Só tenho 2 dúvidas.
Como poderíamos descobrir que {0} não pertence á {S} ?

Na equação x²>0, o resultado nos induz ao erro?Temos que descobrir isso logicamente?Ou fiz algo de errado no cálculo?

Olhe só:
x²>0
x>\/0
x>0

Grato pela ajuda Very Happy

por **Elcioschin** Sáb 23 Dez 2017, 16:24

Na 1ª solução: 2.x² > 0 ---> Se x = 0 teremos 0 > 0 ---> Absurdo ---> 0 não faz parte da solução

x² > 0 ---> temos duas possibilidades: x > 0 ou x < 0 ---> Veja:

Para x = +1 ---> (+1)² > 0 --> 1 > 0 ---> OK

Para x = - 1 ---> (-1)² > 0 ---> 1 > 0 ---> OK

por pauloabes Sex 14 Dez 2018, 16:31

Prezado Elcio, boa tarde!

Nestes casos de inequações modulares sempre tenho dúvidas quando devo considerar a condição de existência do módulo na delimitação do conjunto solução.

Por exemplo, neste exercício considerar ou não a seguinte condição: |2x² – 1| > 0, onde x = ±V2/2

Estou buscando uma "receita de bolo" para tentar resolver estes tipos de equações sem ter que ficar testando as raízes nos intervalos, mas estou percebendo que não é possível isso.

Obrigado

por **Elcioschin** Sex 14 Dez 2018, 16:54

Esta solução é a receita de bolo tradicional e NÃO envolve testar raízes:

|2.x² - 1| ---> A função é nula para x = ± √2/2 (mas isto não será importante)

A função pode ser dividida em duas:

a) - (2.x² - 1) < 1 ---> - 2.x² < 0 ---> 2.x² > 0 ---> Isto é sempre verdade, para x ∈ ℝ

b) + (2.x² - 1) < 1 ---> 2.x² - 2 < 0 ---> Raízes x = -1 e x = 1

A função do 1º membro é uma parábola com a concavidade voltada para cima: ela é negativa entre as raízes: -1 < x < 1

por pauloabes Sex 14 Dez 2018, 17:36

Obrigado,

Mas justamente como saber se os valores de x que anulam são importantes ou não?

Pelo que entendi só mesmo substituindo os valores na equação e analisando o resultado. Correto?

Em outras palavras, não tem como eu definir se o conjunto solução será a união, intersecção ou qualquer outro valor envolvendo as raízes da equação (condição de existência) sem eu testá-las na função pedida. Procede?

Obrigado novamente.

por **Elcioschin** Sex 14 Dez 2018, 17:54

O enunciado diz que o módulo dado tem que ser menor que 1
E devemos dividir a função modular em duas funções, como eu fiz.
Depois basta fazer cada uma delas menor que 1

Eu apenas coloquei as raízes da função modular ± √2/2 para coincidir com a sua solução. Acontece que o enunciado NÃO pediu as raízes da função modular, logo, calculá-las não vai servir para nada.

Basta então SEMPRE seguir a receita do bolo, para achar o que o enunciado pede.