equacoes trigonometricas

por WENDELLSOUZA5 Qua 07 Jun 2017, 22:32

As raízes da equação 4(cos^3 x - sen^3 x )= 5(cosx - senx ) no intervalo (pi/ 4, pi/2) são:

resposta: pi/4 e 5pi/12

por **Euclides** Qua 07 Jun 2017, 22:58

Alguma análise preliminar encurta caminhos. Notemos que se cos x=sen x a igualdade se confirma, o que fornece x=pi/4.

para x diferente de pi/4 podemos operar sem incorrer em divisão por zero

$\\4(\cos x-\sin x)(\cos^2 x+\sin^2 x+\sin x.\cos x)=5(\cos x-\sin x)\\4(1+\sin x.\cos x)=5\\4+2\sin 2x=5\\\sin 2x=\frac{1}{2}\;\;\;\to\;\;\;2x=\begin{cases}\frac{\pi}{6}+2k\pi\\\frac{5\pi}{6} +2k\pi\end{cases}\\\\\\\text{no intervalo dado:}\;\;\;x=\frac{5\pi}{12}\\\\\therefore \;\;x=\frac{\pi}{4}\;\;\;ou\;\;\;x=\frac{5\pi}{12}$

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