Inequação Modular

por guihmorais Qua 07 Jun 2017, 17:29

Resolver a inequação modular a seguir:

| x-3 | <= | 1 - x |

R::

Pessoal, o livro da essa resolução ai em C, mas eu não consigo ver como pode ser assim. Da maneira que eu fiz a segunda equação fica sempre invertida com a resolução do livro --- > "1 - x" deles é meu "x - 1"

O livro está certo mesmo? podem me explicar onde erro?

por **Giovana Martins** Qua 07 Jun 2017, 18:15

"Pessoal, o livro da essa resolução ai em C, mas eu não consigo ver como pode ser assim. Da maneira que eu fiz a segunda equação fica sempre invertida com a resolução do livro --- > "1 - x" deles é meu "x - 1""

Note que neste caso o termo "1-x" foi multiplicado por -1 o que fez com que o mesmo se tornasse "x-1". Ao multiplicarmos ambos os lados de uma inequação por um número negativo a desigualdade da mesma sofre um inversão. E sim, a resposta do livro está correta.

Nota: Caso eu não tenha sanado a sua dúvida, avise-me!

por guihmorais Qui 08 Jun 2017, 11:05

Giovana Martins escreveu:"Pessoal, o livro da essa resolução ai em C, mas eu não consigo ver como pode ser assim. Da maneira que eu fiz a segunda equação fica sempre invertida com a resolução do livro --- > "1 - x" deles é meu "x - 1""

Note que neste caso o termo "1-x" foi multiplicado por -1 o que fez com que o mesmo se tornasse "x-1". Ao multiplicarmos ambos os lados de uma inequação por um número negativo a desigualdade da mesma sofre um inversão. E sim, a resposta do livro está correta.

Nota: Caso eu não tenha sanado a sua dúvida, avise-me!

Olá, Giovana!

Sim, eu saquei que era isto a inversão. Eu não entendi pq a operaram.

Até o 1, ambos deveriam ser invertidos, não? Mas eles nao inverteram o |1-x|. Entre 1 e 3, inverteram ambas, mas pra mim deveriam ter invertido somente o | x - 3 |. E depois do três mantiveram a primeira e inverteram a segunda. Essa ordem de inversão que eu nao saquei!

Um abraço!

por guihmorais Seg 12 Jun 2017, 13:38

alguém?

por **Elcioschin** Seg 12 Jun 2017, 17:22

Os pontos críticos são x = 1 e x = 3

O melhor meio de checar se o gabarito está certo é testar valores dos intervalos:

x < 1 ---> fazendo x = 0 ---> |0 - 3| ≤ |1 - 0| ---> 3 < 1 ---> Falso

x = 1 ---> |1 - 3| ≤ |1 - 1| ---> 2 ≤ 0 ---> Falso

x = 2 ---> |2 - 3| ≤ |1 - 2| ---> 1 ≤ 1 ---> OK

x = 3 ---> |3 - 3| ≤ |1 - 3| ---> 0 ≤ 0 ---> OK

x > 3 --> fazendo x = 4 ---> |4 - 3| ≤ |1 - 4| ---> 1 ≤ 3 ---> OK

Logo, o gabarito está correto

por **petras** Seg 12 Jun 2017, 21:49

Apenas para clarear a ideia da inversão realizada:

| x-3 | ≤  | 1 - x | →  | x-3 | - |1-x|≤  0

.....[1]....[3]....
-x+3|-x+3|x-3
1 - x|x - 1|x-1

-x+3-(1-x)|-x+3 -(x-1)|x-3-(x-1)
2|-2x+4|-2

Para x ≤ 1--> 2≤ 0 Falso
Para x < 1 ≤ 3 ---> -2x + 4 ≤  0 --> x ≥ 2 Ok
Para x > 3 -2 ≤  0 --> 2 ≥ 0 Sempre verdadeiro

Portanto x ≥ 2

por **Giovana Martins** Seg 12 Jun 2017, 23:06

Uhh, me perdoe. Creio que o fórum não indicou que você mandou uma nova mensagem posterior a minha, por isso eu não respondi Sad

. Para minimizar isso, eu proponho mais um modo de resolver este exercício:

|x-3| ≤ |1-x|, x-3=u e 1-x=v

|u| ≤ |v| -> |u|² ≤ |v|²

Pelas propriedades do módulo:

|a²|=|a|²=a² -> u² ≤ v²

Note que como os termos "x-3" e "1-x" estão dentro do módulo (ou seja, ao sair do módulo o valor resultante destes termos sempre será positivo), não ocorrerá nenhum problema ao elevar ambos os lados ao quadrado. Sendo assim:

(x-3)² ≤ (1-x)² -> x²-6x+9 ≤ 1-2x+x² -> x ≥ 2.

Um contraexemplo. Veja que nem sempre podemos elevar ambos os lados de uma inequação ao quadrado, pois corremos o risco de cometermos algum erro como o que segue:

4 > -5 -> (4)² > (-5)² -> 16 > 25 (Absurdo!)

Ou seja, elevamos ambos os lados de uma inequação ao quadrado quando podemos afirmar que ambos os lados são positivos.