Numeros de Fermat.
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Numeros de Fermat.
por Victor M Dom 01 maio 2011, 12:30
Mostre que se [(2^n) +1] é primo, então n é potência de 2.
Victor M- Elite Jedi
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Re: Numeros de Fermat.
por Euclides Dom 01 maio 2011, 12:55
Será que esta indução é válida?
}+1\rightarrow 2^{2k}+1=2^{2p}+1\\\\\text{portanto vale para n=2, para n=2p e para n=2p+2 }\\\text{e verifica-se que a proposição é verdadeira.} "\\2^n+1\rightarrow \text{ é primo}\Rightarrow n=2p\\\\\text{para n=2 }\rightarrow 2^2+1=5 \rightarrow \text{ verifica-se}\\\\\text{se é válida para n=2p, verificamos se vale para n=2p+2}\\\\2^{2p+2}+1=2^{2(p+1)}+1\rightarrow 2^{2k}+1=2^{2p}+1\\\\\text{portanto vale para n=2, para n=2p e para n=2p+2 }\\\text{e verifica-se que a proposição é verdadeira.}")
____________________________________________
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Re: Numeros de Fermat.
por Victor M Dom 01 maio 2011, 17:54
Euclides, acredito que o senho cometeu um engano na interpretação da questão, a minha interpretação:
Cumprimentos, Victor M.
Cumprimentos, Victor M.
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Re: Numeros de Fermat.
por abelardo Seg 02 maio 2011, 23:47
Estou vendo algumas ''ideias'' sobre indução, mas qualquer potência de 2 é um múltiplo de 2 e ''acho'' que 
pode ser representado como 
.
abelardo- Grupo
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Re: Numeros de Fermat.
por Victor M Ter 03 maio 2011, 10:22
Acho que consegui fazer:
Dizer que: Se [(2^n) +1] é primo, então n é potência de 2.
É a mesma coisa de falar que:
Se n não é potencia de 2, então [(2^n) +1] não é primo.
Se n não é potencia de 2 podemos escrever na forma:
n = (2^k)*m
onde m é impar maior igual a 3.
logo:
^{m}%20+%201)
aplicando o produto notavel:
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?(2^{2^{k}})^{m}%20+%201%20=%20(2^{2^{k}}%20+%201)[(2^{2^{k}})^{m-1}-(2^{2^{k}})^{m-2}%20+\cdots%20+%201] [/img]
Para um numero ser composto, deve ser o produto de dois fatores maior que um, então temos que provar que os dois fatores são maiores que 1.
O primeiro:
é facil ver que temos o menor valor quando k=0, logo:
\:%20\:%20\:%20p/k=0\Rightarrow%202^{1}%20+%201%20=%203)
logo o primeiro termo é maior igual a 3.
Já no segundo:
Note que entre dois termos consecutivos é no minimo 1( a diferença entre dois inteiros, onde o primeiro é maior que o segundo deve ser no minimo 1).
logo podemos fazer (m-1)/2 agrupamentos, então:
o menor valor possivel para o segundo termo será quando, m for o menor possivel então:
(3-1)/2 + 1 = 2
Como a segunda parcela é maior que 2, e a primeira é maior que 3 esse numero sempre será composto caso n não seja potencia de 2.
c.q.d.
Cumprimentos, Victor M.
Dizer que: Se [(2^n) +1] é primo, então n é potência de 2.
É a mesma coisa de falar que:
Se n não é potencia de 2, então [(2^n) +1] não é primo.
Se n não é potencia de 2 podemos escrever na forma:
n = (2^k)*m
onde m é impar maior igual a 3.
logo:
aplicando o produto notavel:
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?(2^{2^{k}})^{m}%20+%201%20=%20(2^{2^{k}}%20+%201)[(2^{2^{k}})^{m-1}-(2^{2^{k}})^{m-2}%20+\cdots%20+%201] [/img]
Para um numero ser composto, deve ser o produto de dois fatores maior que um, então temos que provar que os dois fatores são maiores que 1.
O primeiro:
é facil ver que temos o menor valor quando k=0, logo:
logo o primeiro termo é maior igual a 3.
Já no segundo:
Note que entre dois termos consecutivos é no minimo 1( a diferença entre dois inteiros, onde o primeiro é maior que o segundo deve ser no minimo 1).
logo podemos fazer (m-1)/2 agrupamentos, então:
o menor valor possivel para o segundo termo será quando, m for o menor possivel então:
(3-1)/2 + 1 = 2
Como a segunda parcela é maior que 2, e a primeira é maior que 3 esse numero sempre será composto caso n não seja potencia de 2.
c.q.d.
Cumprimentos, Victor M.
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