Pequeno Teorema de Fermat

mostre que 2730 | n^13 - n

Um possível caminho é fatorar:

n¹³ - n = n.(n¹² - 1) = n.(n⁶ + 1).(n⁶ - 1) = n.(n⁶ + 1).(n³ + 1).(n³ - 1) = n.(n⁶ + 1).(n³ + 1).(n - 1).(n² + n + 1) 

2730 = 2.3.5.7.13

Considerando que n seja um inteiro, temos:

2730 = 13 . 2 . 5 . 7 . 3

Basta provar que cada fator primo de 2730 divide n^(13) - n.

pelo teorema de Fermat sabemos que:

Se p é primo e n um inteiro, então:

p | n^p - n

Logo, 

13 | n^(13) - n

Desenvolvendo aquela expressão:

n^(13) - n = n . (n^(12) - 1) = n . [(n^4)^3 - 1^3] = n . (n^4 - 1) . (n^8 + n^4 + 1) = (n^5 - n)(n^8 + n^4 + 1)

5 | n^5 - n ----> 5 | n^(13) - n

Voltando a mesma fatoração:

n^(13) - n = n . (n^4 - 1)(n^8 + n^4 + 1) = n . (n² - 1)(n² + 1)(n^8 + n^4 + 1) = (n³ - n)(n² + 1)(n^8 + n^4 + 1)

3 | n³ - n ------> 3 | n^(13) - n


Fazendo:

n^(13) - n = n . (n^(12) - 1) = n . (n^6 - 1)(n^6 + 1) = (n^7 - n)(n^6 + 1)

7 | n^7 - n -----> 7 | n^(13) - n

Por fim, basta mostrar que 2 divide n^(13) - n.

Se n é ímpar, então n^(13) também é ímpar, e a diferença entre dois ímpares de um par, logo, n^(13) - n seria par e 2 dividiria esse número.

Se n é par, teriamos a diferença de dois pares e 2 dividiria, logo:

13 . 2 . 5 . 7 . 3 = 2730 | n^(13) - n