F.M.E - Integral (2)

por Insight Qui 20 Abr 2017, 13:54

(E. Naval-RJ) Sejam a e b constantes reais positivas, a =/= b. Se x é uma variável real, então \int \:\frac{\left(a^x-b^x\right)^2}{a^xb^x}dx é:

a) (\ln a - \ln b)(\frac{a^x}{b^x}-\frac{b^x}{a^x})-2x+c

b) (\ln b - \ln a)(\frac{a^x}{b^x}-\frac{b^x}{a^x})-2x+c

c) \frac{1}{\ln a - \ln b}(\frac{a^x}{b^x}-\frac{b^x}{a^x})-2x+c

d) \frac{a^x}{b^x}-\frac{b^x}{a^x}-2x+c

e) \frac{1}{\ln b - \ln a}(\frac{a^x}{b^x}-\frac{b^x}{a^x})-2x+c

GAB:

por **Elcioschin** Qui 20 Abr 2017, 14:18

(a^x - b^x)² .... (a^x)² + (b^x)² - 2.a^x.b^x..... a^x..... b^x
----------- = --------------------------- = ----- + ---- - 2 = (a/b)^x + (b/a)^x - 2
--a^x.b^x--------------- a^x.b^{x .....................}b^x..... a^x

Complete

por Insight Qui 20 Abr 2017, 15:19

\int \left(\frac{a}{b}\right)^x dx + \int \left(\frac{b}{a}\right)^x dx - \int 2 dx

\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^x}{\ln \left(\frac{a}{b}\right)}+\frac{\left(\frac{b}{a}\right)^x}{\ln \left(\frac{b}{a}\right)} - 2x + C

\frac {(\frac{a}{b})^x \ln (\frac{b}{a}) + (\frac{b}{a})^x \ln (\frac {a}{b})}{(\ln \frac{a}{b}) (\ln \frac{b}{a})} - 2x + C

E agora? Não vejo como rearranjar os termos da expressão de modo que coincida com a resposta...