Questão do Livro Física Clássica - Condutores

Questão: Sabemos que se uma esferinha de raio R, neutra, tocar externamente uma outra esfera eletrizada de raio 9R, ela vai retirar 10% de sua carga elétrica. Usando-se então uma esfera oca metálica de raio 9R, neutra, e uma esferinha condutora de raio R presa na ponta de um bastão, foi feita a seguinte operação:
1 - Eletrizou-se a esferinha com uma carga elétria q, positiva
2 - Introduziu-se cuidadosamente, através de um orifício existente na esfera maior, o bastão até que sua esferinha tocasse a superficie interna da esfera oca.
3 - O bastão é retirado e encostado com a esferinha na superfície externa da esfera oca,
4 - o bastão é novamente carregado com a mesma carga anterior e o ciclo é repetido n vezes.

Determine a Carga elétrica residual na esfera oca:
a) ao final do quarto ciclo
b) ao final do n-ésimo ciclo.


Gabarito: a)3,10q
             b) 9,0.q(1-0,9^N)

R --------------- 9R

q ---------------- 0 ----> q
0,1.q --------- 0,9.q ---> 1º toque

q -------------- 0,9q ---> 1,9.q
0,19.q -------- 1,71.q ---> 2º toque

q -------------- 1,71.q ---> 2,71.q
0,271.q ------- 2,439.q ---> 3º toque

q -------------- 2,439.q --> 3,439.q
0,3439.q ----- 3,0951.q ---> 4º toque 

3,0951.q ~= 3,1.q

Complete: veja que vai dar a soma dos termos de uma PG

Uma duvida conceitual:por que não ha transferência das cargas quando o bastão toca a superfície interna? E qual o principio por trás desse fenomeno?

Sua afirmação não procede: quando o bastão toca a superfície interna da esfera oca EXISTE transferência de parte das cargas (na razão 1:9) dele, para a esfera oca.
Veja que, por exemplo, após o 1º toque, a esfera oca adquiriu uma carga 0,9.q

Assim que o bastão é removido, as cargas da esfera oca abandonam a superfície interna dela e se distribuem todas na superfície externa.

Isto acontece porque num condutor carregado, em equilíbrio eletrostático, as cargas sempre se distribuem na superfície externa do condutor.

Com isto, o campo elétrico no interior do condutor é nulo e o potencial elétrico é constante (no caso da esfera U = k.Q/R onde R é o raio externo)

Então o que ocorre quando o bastão toca a superfície externa da esfera oca?
E eu pensei que apos o toque, a carga do bastão era 1,1q pois havia 0,1 q e depois o bastão era eletrizado com a carga anterior, q.

O meu raciocínio foi: o bastão com carga q, transfere totalmente sua carga no contato interno, e no contato externo recebe 10% da carga elétrica - 0.1q
ai ele era eletrizado novamente com a mesma carga, somando-se a carga que tinha anteriormente ai ficava 1,1q e o ciclo se repete.

No início, a carga da esferinha do bastão era q e a carga da esfera oca era nula. Assim, a carga total de ambas era q + 0 = q
Após se tocarem internamente, a soma das cargas de ambas deverá ser q (Lei da conservação das cargas). Assim, é impossível que o bastão fique com 1,1.q
Eu mostrei que, após o 1º toque interno, após o equilíbrio eletrostático, o bastão fica com 0,1.q e a esfera com 0,9.q ---> 0,1.q + 0,9.q = q

Após removido o bastão a única alteração é que as cargas da superfície interna da esfera oca se dirigem para a superfície externa dela.

Encostando novamente a esferinha do bastão na superfície externa da esfera oca, nada acontece pois esferinha e esfera oca já estavam em equilíbrio.

Com a esferinha do bastão novamente carregada com carga q, a soma das cargas de ambas vale, agora, q + 0,9.q = 1,9.q

Após o 2º toque da esferinha com a superfície interna da esfera oca:

a) a esferinha fica com carga 0,1.(1,9.q) = 0,19.q
b) A esfera oca fica com carga (0,9.(1,9.q) = 1,71.q
c) A soma das cargas de ambas vale 0,19.q + 1,71.q = 1,9.q (A Lei continua válida)

E assim por diante.

Entendi. Muito obrigado