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Deflexão de uma partícula carregada

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Deflexão de uma partícula carregada Empty Deflexão de uma partícula carregada

Mensagem por DouglasM Qui 14 Abr 2011, 21:37

Boa noite ao pessoal do fórum. Estou encontrando dificuldades na questão que segue, e gostaria de pedir a ajuda de vocês para resolvê-la.

O Espalhamento de Rutherford é a deflexão de uma partícula carregada (massa "m", carga "Ze") por outra (massa "M", carga "Z'e"), sob ação da força columbiana. Supomos M >> m, de modo que a partícula de massa "M" pode ser tratada como um centro de forças fixo. Para "Z" e "Z'" de mesmo sinal (ex: partículas alfa defletidas por um núcleo) e sendo a partícula de massa "m" lançada a partir de uma grande distância da outra, com velocidade inicial "Vo" e parâmetro de choque "b", a órbita de "m" é uma hipérbole do tipo mostrado na figura.

a) Escreva o potencial efetivo "V(ef)" (potencial + energia cinética do movimento transversal) em função de "b" e "Vo".

b) Calcule a distância "Ro" de máxima aproximação entre as duas partículas, como função de "b" e "Vo".

Obs: Infelizmente não consegui postar a figura, mas acredito que ela não faça grande diferença. Basicamente é a trajetória da partícula "m" que sofre deflexão ("r" é a distância entre as duas partículas num segundo instante). A letra "a" eu consegui resolver, o problema mesmo é com a letra "b". Agradeço a quem tiver alguma dica ou alguma idéia.

As respostas:

a)

* Apesar de esta ser a resposta do livro, penso que o primeiro termo deve ser multiplicado pela constante de Coulomb.

b)
DouglasM
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Deflexão de uma partícula carregada Empty Re: Deflexão de uma partícula carregada

Mensagem por luizhsj Ter 12 Fev 2019, 22:10

(a) Conforme definido no problema 6, V_{ef}(r)=\dfrac{L^{2}}{2mr^2} +U(r).
O momento angular pode ser calculado quando a partícula está no infinito, ou seja, tem velocidade v_0. O produto vetorial fornece L=mbv_0. Já a energia potencial pode ser obtida da Lei de Coulomb, bastando integra-la do infinito até uma posição arbitrária r. Substituindo na equação do potencial efetivo, temos:
V_{ef}(r)=\dfrac{mv_0^2b^2}{2r^2} +\dfrac{kZZe^2}{r}

(b) É fácil ver que a energia da partícula é E=[size=13]\dfrac{kZZe^2}{r}+[/size]\dfrac{1}{2}mv_r^2+\dfrac{mv_0^2b^2}{2r^2} .
Essa energia, que por sua vez é conservada, vale E=\dfrac{1}{2}mv_0^2 da condição inicial.
Perceba que a distância r_0 de máxima aproximação ocorre quando o vetor posição da partícula está perpendicular à hipérbole, para b e v_0 dados. Os seja, \hat{r} é perpendicular a tangente da hipérbole na partícula. Consequentemente, nesta posição v_r=0. (A situação na qual $v_r$=0 é a aparentemente a mostrada na figura do livro.)
Substituindo na equação da energia, segue:
\dfrac{1}{2}mv_0^2=\dfrac{kZZe^2}{r}+\dfrac{mv_0^2b^2}{2r^2}
\dfrac{1}{2}mv_0^2r^2-kZZ'e^2r-\dfrac{1}{2}mv_0^2b^2=0


Basta agora resolver a equação do segundo grau e fazer umas pequenas manipulações algébricas para chegar ao resultado desejado.
Obs.: Também acho que está faltando a constante de Coulomb no gabarito.

luizhsj
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