(FGV) Polinômio

por vestdie Seg 13 Fev 2017, 10:47

Seja P(x)= x^2+bx+c, com a, b e c inteiros. Se P(x) é fator de T(x)= x^4+6x^2+25 e de S(x)= 3x^4+4x^2+28x+5, então P(1) é igual a:

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Gabarito:

por **Elcioschin** Seg 13 Fev 2017, 11:41

1) T(x) = P(x).U(x) ---> x⁴ + 6.x² + 25 = (x² + b.x + c).(x² + d.x + e)

Desenvolvendo o 2º membro, temos:

x⁴ + 6.x² + 25 = x⁴ + (b + d ).x³ + (c + e + b.d).x² + (c.d + b.e).x + c.e

Comparando termo a termo:

b + d = 0 ---> d = - b ---> I

c + e + b.d = 6 ---> II

c.d + b.e = 0 ---> III

c.e = 25 ---> IV ---> Possíveis pares: (1, 25), (5, 5), (25, 1)

Resolvendo este sistema chega-se a c = e = 5 e d = - b

2) S(x) = P(x).V(x) ---> 3.x⁴ + 4.x² + 28.x + 25 = (x² + b.x + c).(3.x² + f.x + g)

Proceda de modo similar e monte novas equações. Depois tente resolver o sistema.

por PedroCunha Seg 13 Fev 2017, 18:13

Boa tarde, amigos.

\\ \begin{align*} T(x) & = x^4 + 6x^2 + 25 \\ & = (x^4+10x^2+25) - (4x^2) \\ & = (x^2+5)^2 - (2x)^2 \\ & = (x^2+2x+5) \cdot (x^2-2x+5) \end{align*}

Para fatorar S(x), convém notar que o coeficiente do termo de 4º grau é 3 e que a variável independente é 5. De posse destas informações:

\\ S(x) = 3x^4 + x^3 \cdot (a+3b) + x^2 \cdot (16+ab) + x \cdot (5a+b) + 5 .

Por igualdade de polinômios:

\\ \begin{cases} a + 3b = 0 \Leftrightarrow a = -3b \\ -14b = 28 \Leftrightarrow b = -2 \Leftrightarrow a = -6 \end{cases}

Logo, \\ p(x) = x^2-2x+5 e portanto \boxed{\boxed{p(1) = 4 }}

É isso.

Abraços,
Pedro.

por Conteúdo patrocinado

(FGV) Polinômio

(FGV) Polinômio

Re: (FGV) Polinômio

Re: (FGV) Polinômio

Re: (FGV) Polinômio

Um fórum livre e democrático.