Análise Combinatória

Quantos números de 4 dígitos são maiores que 2400 e têm todos os dígitos diferente?

Minha resposta está dando 2688 mas, a resposta do livro é 3864.

Eu resolvi dividindo o exercício em duas partes:
1ª parte:
Achar quantos números distintos começados com um número n tal que n >= 3 e n <= 9

2ª parte:
Achar quantos números distintos começados por 2 e um número m tal que m >= 4 e m <=9

Vamos lá então:
1ª parte:
- No primeiro algarismo temos apenas 7 opções de escolha de número (3,4,5,6,7,8,9), pois usando o 0 o número não teria 4 algarismos, usando o 1 o número seria menor que 2400, e o número 2 será reservado para a 2ª parte.
- No segundo algarismo temos 9 opções (pois uma já foi escolhida no primeiro algarismo)
- No terceiro algarismo temos 8 opções (pois ja foram escolhidos 2 números)
- No quarto algarismo temos 7 opções (pois já foram escolhidos 3 números)
Então temos:
7x9x8x7 = 3528 números maiores que 2400 começados por n

2ª parte:
Agora determinaremos os números maiores que 2400 começados com 2 e um número m tal que m >= 4 e m <= 9
- No primeiro algarismo temos apenas uma opção (2)
- No segtundo algarismo temos 6 opções (4,5,6,7,8,9)
- No terceiro algarismo temos 8 opções (pois já foram escolhidos 2 números)
- No quarto algarismo temos 7 opções (pois já foram escolhidos 3 números)
Então:
1x6x9x7 = 336 números começados por 2 e m, maiores que 2400

Portanto temos:
3528 + 336 = 3864 números maiores que 2400

Muito bom! Bom trabalho Kongo.

O que existe de errado no meu raciocínio?

d1 - A primeira escolha pode ser feita entre qualquer algarismo na base 10 maior ou igual a 2. {2,3,4,5,6,7,8,9}

d2 - A segunda escolha pode ser feita entre qualquer algarismo na base 10 maior ou igual a 4. {4,5,6,7,8,9}

Dessa forma, quaisquer que sejam os números diferentes colocados nas duas últimas opções formam um número maior que 2400 e com os algarismos todos distintos.

Então temos:

Decisão 1: 8 formas

Decisão 2: 6 formas

Decisão 3: 8 formas -> todos os algarismos na base 10 menos 2 que já foram escolhidos.

Decisão 4: 7 formas -> todos os algarismos na base 10 menos 3 que já foram escolhidos.

8x6x8x7 = 2688.

Alguém pra me dar uma forcinha aqui?

Também tentei resolver da mesma forma que você velloso. Única coisa que posso dizer é:
No primeiro algarismo da dezena de milhar você considerou utilizar os números 2,3,4,5,6,7,8,9.
Já no algarismo do lado você considerou utilizar 4,5,6,7,8,9. Se utilizar o número 2 ou 3 na dezena de milhar você realmente terá 6 possibilidades de números, mas se usar o 6, por exemplo, terá somente os números 4,5,7,8,9 para colocar na casa do milhar. Portanto nossa análise não é correta para n>=4

Penso que o erro do velloso pode está contido na decisão d1 e d2.
Em d1 foram escolhidos {2,3,4,5,6,7,8,9}
em d2 foram escolhidos {4,5,6,7,8,9}

Percebemos que o problema exige algarismos distintos, mas trabalhando assim teremos os algarismos {4,5,6,7,8,9} iguais em d1 e d2 e que não proporciona os 4 algarismos distintos.
Se eu pensei errado, corrijam por favor.

A questão pede os números maiores do que 2400. Então, o 2400 está incluído nessa analise combinatória conforme os calculos. Não deveria ser incluídos somente os de 2401 em diante?

Se são maiores do que 2400, o número 2400 NÃO pode estar incluído. Os números são:

2401, 2402, 2403, 2404, 2405, 2406, ........... 9874, 9875, 9876

Os números em vermelho não podem estar incluídos, pois tem algarismo repetido.

Além disso, os algarismos 3, 4, 5, 6 não fazem parte. Só fazem parte 0, 1, 2, 7, 8, 9

2501, 2507, 2508, 2509
2510, 2517, 2518, 2519
2570, 2571, 2578, 2579
2580, 2581, 2587, 2589
2590, 2591, 2597, 2598
..................................
etc


.... etc.

Concordo com a resolução de  @velloso!!! Ótima explicação.