Geometria Plana

por Convidado Ter 31 Jan 2017, 08:08

Na figura ABCD, é um quadrado de lado 4 cm , e M é ponto médio de CD . Sabe-se ainda que BD é arco de circunferência de centro A e raio 4 cm , e CD é arco de circunferência de centro M e raio 2 cm , sendo P e D pontos de interseção desses arcos .
Geometria Plana 33utwrt

A distância de P até CB , em centímetros , é igual a :
Não entendi como calcular essa distância de P até CB sendo BD e CD arcos com seus pontos médios P e M .

a) 4/5 b) 19/25 c) 3/4 d)7/10 e) 17/25

por poisedom Ter 31 Jan 2017, 08:36

Utilizando um sistemas de coordenadas com origem em D temos

A(0,4)
B(4,4)
C(4,0)
d(0,0)
e
M(2,0)

a equação da circunferência de raio 4 é

x^2+(y-4)^2=16

ou seja
x^2+y^2-8y+16=16

x^2+y^2-8y=0 (I)
e

a equação da circunferência de raio 2 é

(x-2)^2+y^2=4

ou seja

x^2-4x+4+y^2=4

x^2+y^2-4x=0(II)

agora igualando (I) e (II) temos

x^2+y^2-8y=x^2+y^2-4x

x=2y (III)

agora substituindo (III) em (I) obtemos os pontos de intersecção entre as duas circunferências, que são os pontos D e P

(2y)^2+y^2-8y=0

4y^2+y^2-8y=0

5y^2-8y=0

y=0 e x=0 ---> D(0,0)

e

y=\dfrac{8}{5} e x=\dfrac{16}{5} ---> P(\dfrac{16}{5},\dfrac{8}{5})

ou seja a distancia entre o ponto P até CB é

4-\dfrac{16}{5}= \dfrac{4}{5}

por Convidado Ter 31 Jan 2017, 09:04

poisedom escreveu:Utilizando um sistemas de coordenadas com origem em D temos

A(0,4)
B(4,4)
C(4,0)
d(0,0)
e
M(2,0)

a equação da circunferência de raio 4 é

x^2+(y-4)^2=16

ou seja
x^2+y^2-8y+16=16

x^2+y^2-8y=0 (I)
e

a equação da circunferência de raio 2 é

(x-2)^2+y^2=4

ou seja

x^2-4x+4+y^2=4

x^2+y^2-4x=0(II)

agora igualando (I) e (II) temos

x^2+y^2-8y=x^2+y^2-4x

x=2y (III)

agora substituindo (III) em (I) obtemos os pontos de intersecção entre as duas circunferências, que são os pontos D e P

(2y)^2+y^2-8y=0

4y^2+y^2-8y=0

5y^2-8y=0

y=0 e x=0 ---> D(0,0)

e

y=\dfrac{8}{5} e x=\dfrac{16}{5} ---> P(\dfrac{16}{5},\dfrac{8}{5})

ou seja a distancia entre o ponto P até CB é

4-\dfrac{16}{5}= \dfrac{4}{5}

Não sei bem se essa era a intenção da questão , mas obrigado.

por **Elcioschin** Ter 31 Jan 2017, 09:13

Não entendi o que você quis dizer com "Não sei bem se essa era a intenção da questão"

A questão pediu a distância do ponto P à reta BC.
E foi o que o colega poseidon fez, usando Geometria Analítica.

por Convidado Ter 31 Jan 2017, 09:20

Elcioschin escreveu:Não entendi o que você quis dizer com "Não sei bem se essa era a intenção da questão"

A questão pediu a distância do ponto P à reta BC.
E foi o que o colega poseidon fez, usando Geometria Analítica.

É porque ainda estou em Geometria Plana e essa questão se encontra nela , pensei que havia outra forma de fazer.

por **Elcioschin** Ter 31 Jan 2017, 11:35

A solução por GA é bem simples: basta encontrar as coordenadas do ponto de encontro das duas curvas.
Pode até ser que haja um método sem usar GA, mas acho que será muito trabalhoso.

Esta é uma boa questão para o Raimundo ou Medeiros quebrarem a cuca

por Convidado Ter 31 Jan 2017, 11:44

Elcioschin escreveu:A solução por GA é bem simples: basta encontrar as coordenadas do ponto de encontro das duas curvas.
Pode até ser que haja um método sem usar GA, mas acho que será muito trabalhoso.

Esta é uma boa questão para o Raimundo ou Medeiros quebrarem a cuca

Entendi mestre , é porque ainda não entrei em GA , e não tive essa percepção .

por Convidado Ter 31 Jan 2017, 12:46

Eu consegui resolver por geometria plana. Daqui a pouco posto a resolução.

por poisedom Ter 31 Jan 2017, 14:10

Fazendo pitágoras no triângulo APH temos

16=(4-x)^2+y^2
16=16-8x+x^2+y^2
x^2+y^2=8x(I)

Fazendo pitágoras no triângulo FPM temos

4=(2-x)^2+(4-y)^2
4=4-4x+x^2+16-8y+y^2
x^2+y^2=8y+4x-16(II)
substituindo (I) em(II)
8x=8y+4x-16
4x=8y-16
x=2y-4
y=\dfrac{x+4}{2}(III)

substituindo (III) em (I) temos

x^2+(\dfrac{x+4}{2})^2=8x
x^2+\dfrac{x^2+8x+16}{4}=8x
5x^2-24x+16=o

assim

x=4 não convém
e
x=\dfrac{4}{5} que é a solução

por Convidado Ter 31 Jan 2017, 14:20

y e x se obtém fazendo o teorema dos cossenos(não sei se é esse nome mesmo) nos triângulos, ficando em função dos seus cossenos.

y.sin(y/2)=x.sin(x/2)
2(1-cos(y))=4(1-cos(x))
4cos(x)-2cos(y)=2
2cos(x)-cos(y)=1
I) cos(y)=2cos(x)-1

y.cos(y/2) + x.cos(x/2) = 4
2V((1-cos(y))(1+cos(y))) + 4V((1-cos(x))(1+cos(x))) = 4
II) V[(1-cos(y))(1+cos(y)))] + 2V[((1-cos(x))(1+cos(x))] = 2

Resolvendo I e II, obtemos cos(x)=4/5, logo sin(x/2)=1/5.
Fazendo sin(x/2)=h/x => h=4/5.