Otimização

por Gleibson Qua 07 Dez 2016, 10:30

Uma lata de conserva, de forma cilindrica, com tampa, deve ser contruida com 48cm^2 de folha. Ache as dimensões de modo que seu volume seja máximo.

por **JoaoGabriel** Qua 07 Dez 2016, 11:04

Volume de um cilindro: $\\ V = A_{base}\times h = \pi r^2h$

Sabemos que a área total deve ser 48 cm^2, portanto:

$\\\\A = A_{base} + A_{lateral} + A_{tampa}\\\\A_{base} = A_{tampa} = \pi r^2\\\\A_{lateral} = 2\pi rh$

$\\\\ 2\pi r^2 + 2\pi rh = 48\to 2\pi r(r + h)= 48\\\\r(r + h) = \frac{24}{\pi}\to h = \frac{24}{\pi r}- r$

Substituindo este resultado na expressão do volume, obteremos um V(r):

$\\\\ V(r) = \pi r^2(\frac{24}{\pi r}-r) = 24r -\pi r^3$

Para encontrar o raio que maximiza o volume:

$\\\\\frac{dV(r)}{dr} = 0\therefore24 - 3\pi r^2= 0 \\\\3\pi r^2 = 24 \to r = \sqrt{\frac{8}{\pi}}$

Agora podemos então obter a altura:

$\\\\h = \frac{24}{\pi}\sqrt{\frac{\pi}{8}}- \sqrt{\frac{8}{\pi}}$

Por favor revise minhas contas, posso ter deixado algo passar; pode ainda simplificar o resultado para h.

Abraços

por lucasconrado Qua 07 Dez 2016, 22:23

João Gabriel, encontrei um polinômio do terceiro grau, assim como você. Percebi que, após você ter encontrado o polinômio, você derivou. Embora eu saiba como se fazer uma derivação, como não curso nível superior ainda, desconheço de muitas aplicações desse artifício. Seria possível realizar essa questão de uma outra maneira, após ter encontrado o polinômio do terceiro grau ?

por **JoaoGabriel** Qua 07 Dez 2016, 23:09

lucasconrado escreveu:João Gabriel, encontrei um polinômio do terceiro grau, assim como você. Percebi que, após você ter encontrado o polinômio, você derivou. Embora eu saiba como se fazer uma derivação, como não curso nível superior ainda, desconheço de muitas aplicações desse artifício. Seria possível realizar essa questão de uma outra maneira, após ter encontrado o polinômio do terceiro grau ?

Com precisão, receio que não. Você poderia substituir valores para r e esboçar o gráfico V x r, e como a forma de uma curva do terceiro grau é conhecida, você poderia determinar um intervalo que contenha o raio que maximiza o volume e ir testando valores. Chegará em algo aproximado. O resultado obtido pela derivação é exato.
Porém, não basta apenas saber derivar, e sim entender o sentido do que está fazendo; o por que de se derivar e igualar a zero. Você verá isso e muito mais nas disciplinas de Cálculo na universidade.

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