Exercícios de Derivada

Olá, boa noite!
Não faço ideia de como fazer isso.

Suponha que |f(x)|<= x^2 para todo x. Mostre que f(0)=0. A seguir mostre que f'(0)=0.

Alguém me ajuda, por favor?

Então, Existe várias deduções para provar isso, vou citar uma: Primeiro você tem que entender que módulo significa a distância do número até o zero na reta real. Qual é a distância de -3 ao zero? a resposta é 3, ok? qual a distância de 2 ao zero? a resposta é 2. Independente do número ser negativo ou positivo, a resposta sempre será o mesmo número, só que positivo. 

Logo, |a|=2 fica, -a=2 ou +a=2. Pois, para um valor negativo de a temos o contrário de a: -a=-(-2)=2, ou para um valor positivo de a, temos o msmo sinal de a. 


Portanto, |f(x)|<= x^2 fica, -f(x)<= x^2(caso, o f(x) seja negativo) ou f(x)<= x^2(caso o f(x) seja positivo).


Com isso, para -f(x)<= x^2 os únicos valores que fazem -f(x) ser igual a x^2 é o zero e os valores negativos.( É só testar os valores para tirar as conclusões). E para f(x)<= x^2 os únicos valores que fazer f(x)= x^2 é o zero e os valores positivos.( Novamente, é só testar valores para tirar essa conclusão). Logo, é provado que -f(0)=0^2, fica f(0)=0 ou f(0)=0^2, fica f(0)=0. 


O mesmo vale para a derivada, -f'(x)<= 2x  e f'(x)<= 2x. Logo, f'(0)=0.

Não entendi a parte dos valores para testar.

Porque quando tem -f(x) <= x^2, para mim x poderia assumir todos os valores porque mesmo que fique negativo de um lado, como o x^2 dará sempre positivo, ele será maior.

giselabiscaia escreveu:Não entendi a parte dos valores para testar.

Porque quando tem -f(x) <= x^2, para mim x poderia assumir todos os valores porque mesmo que fique negativo de um lado, como o x^2 dará sempre positivo, ele será maior.

Certo, então vamos analisar por partes. Entenda a ideia do problema: Ele quer provar se f(0)=0. É corretíssimo o x assumir qualquer valor, pois o x^2 sempre será maior ou igual. Mas, para provar que f(0)=0, eu tenho que analisar somente a parte que fica igual, e não a que fica maior. 


Vamos entender a parte de testar os valores: Veja que os valores positivos de x na situação em que o f(x)<0, acarreta nisso: -f(x) < x^2, ou seja, os valores de x nessa situação não nos interessa, pois queremos alguma relação com a igualdade. Agora, quando o f(x)<0 assume os valores negativos de x, acarreta nisso: -f(x) = x^2, veja que todo valor de x negativo faz a relação ser igual e é isso que vai nos interessar, pois, queremos provar se o f(0)=0. Agora, basta analisar se essa proposição é verdadeira substituindo o zero. Fazendo isso: -f(0)= 0^2, vemos que -f(0)=0, sabemos que zero vezes menos é zero, então fica f(0)=0.


Pronto, mas não terminamos, pois se trata de uma inequação modular e temos que analisar a parte que f(x)>0. analogamente, aqui fica o oposto, os valores de x negativos fazem f(x) < x^2, é só testar os valores negativos que você vê isso, certo? E os valores positivos de x fazem f(x)= x^2. E, lembre-se, queremos provar se f(0)=0, então temos que pegar a parte que fica igual. Substituindo o zero, f(0)=0^2, temos f(0)=0. 


Com tudo isso, provamos que se colocarmos o valor nulo de x dentro da função modular inicial temos que f(0)=0, em outras palavras, sendo o f(x)<0 ou f(x)>0 o resultado substituindo o zero sempre vai da zero. Espero que tenha ficado claro, abraço!