Matriz Quadrada

por **Forken** Sáb 26 Nov 2016, 20:11

Retirado do livro Fundamentos de Matemática Elementar Vol 4, pág 68.

Questão 228.

Calcule\;todas\;as\;matrizes\;X,\;quadradas\;de\;ordem\;2,\;tais\;que\;X^2=I_{2}

Minha tentativa:

Dados:
X=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}\;e\;I_{2}=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}

Então:
\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}\Rightarrow

\Rightarrow\begin{cases}a^2+bc=1\\ ab+bd=0\Rightarrow b(a+d)=0\\ ac+cd=0\Rightarrow c(a+d)=0\\ bc+d^2=1 \end{cases}

Logo existirá 2 possibilidades b=0 e c=0 ou b#0 e c#0 (# lê-se diferente)

Primeira possibilidade:
\Rightarrow\begin{cases}a^2+bc=1\Rightarrow a=\pm 1\\ ab+bd=0\Rightarrow b=0\\ ac+cd=0\Rightarrow c=0\\ bc+d^2=1\Rightarrow d=\pm1 \end{cases}

Segunda possibilidade:
\Rightarrow\begin{cases}a^2+bc=1\Rightarrow a=\pm \sqrt{1-bc}\\ ab+bd=0\Rightarrow a=-d\\ ac+cd=0\Rightarrow a=-d\\ bc+d^2=1\Rightarrow d=\pm \sqrt{1-bc} \end{cases}

Gabarito:
X=\begin{bmatrix}\pm 1 &0 \\ 0 &\pm1 \end{bmatrix}\;ou\;X=\begin{bmatrix} \sqrt{1-bb} &b \\ c &-\sqrt{1-bc} \end{bmatrix}\;ou\; X=\begin{bmatrix} -\sqrt{1-bc} &b \\ c &\sqrt{1-bc}\end{bmatrix}\;em\;que\;b,\;c\in\;e\; \mathbb{R}\;e\;bc\leq 1.

Quanto ao gabarito percebe-se que ouve um erro de digitação no "bb" mas a minha dúvida é, por que ficou + ou - apenas no 1, enquanto na outra possibilidade foi separado em duas matrizes invertendo os respectivos sinais?

por **Elcioschin** Sáb 26 Nov 2016, 20:24

a = - d ---> não sabemos qual dos dois é positivo (a ou d)

Temos que ter as duas soluções a > 0, d < 0 e a < 0 , d >0

por **Forken** Sáb 26 Nov 2016, 20:48

Justamente, então pq não separou em duas matrizes, como no segundo caso ou o segundo caso com uma única resposta.
X=\begin{bmatrix}-1 &0 \\ 0&1 \end{bmatrix}\;ou\;X=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}