Progressões

(UnB-DF)



A sequência de figuras acima ilustra 3 passos da
construção de um fractal utilizando-se como ponto de
partida um triminó – nível I –, que consiste em uma
peça formada por três quadrinhos de 1 cm de lado
cada, justapostos em forma de L. No segundo passo,
substitui-se cada quadradinho do fractal de nível I por
um triminó, que tem os comprimentos dos lados de
seus quadradinhos adequadamente ajustados à situa-
ção, de forma a se obter o fractal de nível II, conforme
ilustrado acima. No terceiro passo, obtém-se, a partir
do fractal de nível II, também substituindo-se cada um
de seus quadrinhos ajustados, o fractal de nível III. O
processo continua dessa forma, sucessiva e indefinida-
mente, obtendo-se os fractais de níveis n 5 I, II, III, ... .
Com base nessas informações, julgue os itens que
se seguem.

a)     No fractal de nível n, há 3^(n) quadradinhos som-
breados.

b) O perímetro externo do fractal de nível VI é igual
a 8 cm.

c)     A área do fractal de nível V correspondente aos
quadradinhos sombreados é superior a 1 cm^(2) .

d)    À medida que n cresce, a área do fractal de nível
n correspondente aos quadradinhos sombreados
aproxima-se cada vez mais de 1 cm^(2) .

e)     No quarto passo da construção, será obtido o
fractal de nível IV, com a forma ilustrada a seguir:




f)     Caso o fractal de nível V seja cortado ao longo de
uma reta que bissecta o ângulo interno inferior
esquerdo do quadradinho localizado no canto
inferior esquerdo, as duas partes obtidas serão
congruentes, o que mostra ser essa estrutura
simétrica em relação a essa reta.

g)    O fractal de nível II pode ser considerado uma
planificação de um poliedro convexo de 9 faces.

Gabarito: VVFFVVF

Eu resolveria assim se alguém puder comentar.
a) V --> n. quadrados é igual a uma PG de razão 3(3, 9, 27...3ⁿ)
b) F --> O perímetro é constante de 8 cm
c) F --> S1 = 3 .(1.1) = 3 --> S2 =9 . (1/2.1/2) = 9/4... S5 = 243 . (1/16.1/16) = 243/256 < 1 (Lados--> (1, 1/2, 1/4, 1/8...) Área---> (1, 1/4, 1/16, 1/81....)
d) (F) ---> S= 3ⁿ /4ⁿˉ¹ ...Maior n → Menor a fração → vai tender a 0
e) (V)---> 3⁴ = 81 quadrados
f) (V)---> É fácil visualizar que a bissetriz irá dividir o fractal em duas partes simétricas
g) (F)---> Somando as faces teremos 10 faces laterais

Alguém pode ajudar aqui?

Colega Petras, Por que a letra G é verdadeira? Não consegui visualizar...Para mim tem 9 faces... :suspect:

Alguém poderia explicar novamente a C e D?

Eu tive uma sacada, nessa questão.

A) reparem que a área da figura(F) 1, ( F1), equivale a 3cm^2,
imaginemos agora um quadrado se formando e englobando-a agora perceba que F1 é 3/4 do quadrado - guarde essa informação-.

B) se essa figura segue uma proporção, como diz o enunciado, eu posso afirmar, então, que a razão da F1, pode ser generalizada, assim, todas as próximas formações, terão de respeitar essa razão

C)  dito isto, vamos aos cálculos e vocês irão perceber que essa questão tem uma saída muito fácil e forma-se uma PG, em que o a1 é 3cm^2, que podemos representar assim: 3/1 cm^2, para efeito de percepção 

D)  Razão : q= 3/4  ,     P.G: (   3/1 ; 9/4 ; 27/ 16 ; 81/64 ; 243/256; ....) 
paramos por aí, pois, foi pedido na questão o nível em que  a figura seria menor que 1cm^2, percebam que para uma fração positiva : a/b<0   menor que 1), é necessário que o seu denominador, seja maior que o seu numerador, com isso, é possível afirmar que o nível em que a PG deve parar é o quinto 5°.