Razão Áurea

por **Adam Zunoeta** Sáb 26 Mar 2011, 03:42

(UFV-2005)
Muitas das construções e esculturas da Grécia Antiga utilizavam a "secção áurea" em suas dimensões, como, por exemplo, na ilustração da figura 1.

Dizemos que um ponto C, conforme a figura 2, divide um segmento de reta AB em secção áurea se a razão entre as medidas do maior e do menor dos dois segmentos determinados por C é igual à razão entre as medidas de AB e do maior dos segmentos obtidos, isto é AC/CB=AB/AC. O número AC/CB, denominado razão áurea, é igual a:

Gabarito:
$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

por **Euclides** Sáb 26 Mar 2011, 12:23

Oi balanar, veja o tópico,

https://pir2.forumeiros.com/t10895-razao-urea?highlight=raz%C3%A3o+%C3%A1urea

por **adriano tavares** Sáb 26 Mar 2011, 12:30

Olá, balanar.

Fazendo-se AC=a e CB=x-a teremos:

$\frac{a}{x-a}=\frac{x}{a}\Rightarrow x^2-ax=a^2 \Rightarrow x^2-ax-a^2=0$

Resolvendo essa equação do 2ºgrau em relação a x encontraremos:

$x=a\frac{(1+\sqrt{5})}{2}$

Logo, teremos:

$\frac{AC}{CB}=\frac{(1+\sqrt{5})}{2}$

por **Matheus Basílio** Sáb 26 Mar 2011, 12:40

Pela figura, (AB/AC)=(AC/CB) (I)

Vamos atribuir às medidas de AC e CB os valores representados, respectivamente por a e b.

Razão Áurea Image2m

Veja que AC = a, CB = b e AB = a + b

Substituindo esses valores em (I), temos:

(a + b)/a = a/b (II)

Fazendo (a + b)/a = a/b = x, temos
a/b = x -> a = bx

Substituindo esse valor em (II):

(bx + b)/bx = bx/b

Colocando b em evidência, temos:
(b.(x + 1))/bx = bx/b

Cancelando b em ambos os membros:

(x + 1)/2 = x/1

Usando a propriedade fundamental das proporções (o famoso "multiplicando cruzado"), temos:

x² = x + 1 -> x² - x - 1 = 0

Aplicando a fórmula "de Bháskara", você encontrará:

x = (1 +- V5)/2

Mas como x representa medida, descartamos o valor negativo, então fica:
x = (1 + V5)/2

Que é a solução.

Qualquer dúvida, é só falar.
Abraços