Função real

por João Soares Sex 18 Nov 2016, 17:33

Considere a função real definida por:
f(x) = k * x^2 - k*x - 1/2,

em que k é um parâmetro real. Determine o conjunto dos valores de k para que se tenha f(x) > 0 para todo x ∈ R

Gabarito: {} (vazio).

por **Euclides** Sex 18 Nov 2016, 19:02

Uma função do segundo grau é sempre positiva se:

- Delta < 0
- coeficiente de x² é positivo

$\\k>0\\\\k^2+2k<0\;\;\to\;\;k(k+2)<0$

a inequação acima não tem solução em intervalo positivo, logo \nexists k\;\in\;R

por João Soares Sáb 19 Nov 2016, 02:05

Valeu, Euclides. Eu tinha pensando em algo do tipo -e até cheguei ao intervalo- mas não fazia ideia que eram essas as condições!

por **Elcioschin** Sáb 19 Nov 2016, 09:08

João

Sempre raciocine assim:
Em funções do 2º grau o gráfico é uma parábola.
Ela poderá cortar o eixo x em dois pontos (2 raízes reais) ou tangenciar o eixo x num ponto (uma raiz real dupla).
Mas também poderá não tocar no eixo x, ficando acima ou abaixo do eixo x (duas raízes complexas)

Para a parábola ficar acima do eixo x (função sempre positiva) ela deverá atender as condições que o Euclides mostrou:

1) Ela deverá ter a concavidade voltada para cima (coeficiente de x² deve ser positivo)
2) O discriminante deverá ser negativo: ∆ < 0 (raízes complexas)

E para a parábola ficar abaixo do eixo x, a condição 1 é o oposto: concavidade voltada para baixo e coeficiente de x² deve ser negativo. A condição 2 permanece.