Entendendo uma questão de Polinômio.

por steniorochac Ter 15 Nov 2016, 14:34

Eis a questão:
Um polinômio p(x)=x⁴+mx²+nx+k, com m, n, k constantes, tem só duas raízes x1 e x2, sendo x1 simples, x2≠0. Nessas condições, é correto afirmar que x1/x2 é igual a:
01) -3
02) -1/3
03) 1/3
04) 1
05) 3

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Eis a resolução:

"Para facilitar a escrita vou fazer x1 = a e x2 = b

Um polinômio do 4º grau tem 4 raízes

Se a é uma raiz simples e b é outra raiz tal que b ≠ 0, b é uma raiz tripla ---> p(x) = (x - a).(x - b)³

(x - b)³ = x³ - 3bx² + 3b²x - b³

P(x) = (x - a).(x³ - 3bx² + 3b²x - b³) = x⁴ - (a + 3b).x³ + 3b.(a + b).x² - (b + 3a).x + ab³

P(x) = x⁴ + 0.x³ + m.x² + n.x + k

Comparando termo a termo:

- (a + 3b) = 0 ----> a = - 3b ---> a/b = - 3 ---> x1/x2 = - 3"

Eu entendi como se chegou ao resultado, mas não entendi por que foi usado
(x - a).(x - b)³ ao invés de (x + a).(x + b)³ no início da resolução.

por Omni Ter 15 Nov 2016, 14:48

Porque ele assumiu que as 2 raízes são positivas. Entretanto, caso você assumisse que as raízes são negativas e utilizasse (x+a).(x+b)³ não teria problema algum.

por steniorochac Dom 20 Nov 2016, 18:01

Obg por me responder!
Nesse caso, se ele assumisse que uma raiz era negativa e outra era positiva, ficaria (x-a).(x+b)³?

por **Elcioschin** Dom 20 Nov 2016, 19:24

Não tem nada a ver se as raízes são positivas ou negativas

Seja um polinômio qualquer P(x) = xⁿ + a₁.x^n-1 + a₂.x^n-2 + ...... + a_n-2.x² + a_n-1.x + a_n

Sejam, r₁, r₂, r₃, ..... r_n as raízes dele (não interessa o sinal de cada raiz)

Este polinômio sempre pode ser fatorado, da seguinte forma:

P(x) = (x - r₁).(x - r₂).(x - r₃). ........ .(x - r_n)

Note que se fizermos r = r₁ ou r = r₂ ou r = r₃ ou .... r = r_n teremos P(x) = 0

Assim, o sinal de cada fator é sempre -