Questão de Polinômio

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Mensagem por KarolFM em Sex 27 Fev 2015, 14:47

(UNEB - 2015) Se o polinômio p(x) satisfaz p(x).(4x² +kx² +1) = 8x^5 - 32x³ -x² +4, em que k é uma constate, e duas de suas raízes são 2 e -2, então sua terceira raiz estará no intervalo 

01) [1,2[
02) [0,1[
03) [-1,0[
04) [-2.-1[
05) ]- ∞,-2[

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Mensagem por Elcioschin em Sex 27 Fev 2015, 21:37

Tens certeza do polinômio (4x² + kx² + 1) ? Não seria (4x² + kx + 1) ?

Como o produto de P(x) por um polinômio de 2º grau resulta num polinômio do 5º grau:

1) P(x) é do 3º grau
2) O coeficiente de x³ em P(x) vale 2 ---> 2.4 = 8
3) O termo independente de x em P(x) vale 4 ---> 4.1 = 4

P(x) = 2x³ + ax² + bx + 4

(2x³ + ax² + bx + 4).(4x² + kx + 1) = 8x^5 - 32x³ -x² + 4

Efeue as contas no 1º membro e coloque em ordem decrescente das potências decrescentes de x
Compare termo a termos os coeficientes dos dois membros e
Calcule a, b, k

Monte P(x) e aplique Briott-Ruffini para as raízes 2 e - 2 e calcule a 3ª raiz.
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Mensagem por matheuscrj16 em Sex 13 Maio 2016, 15:56

Terminei resolvendo com incógnitas (ax³...d) atente a isso:

Outra forma de fazer é aplicar briott-ruffini diretamente no 2x³+bx²+cx+4
Vc vai achar a equação: 
(usando a raiz 2) >> 2x² + (4+b)x +8+2b+c (I)
(usando a raiz -2) >> 2x² + (-4+b)x +8-2b+c (II)

Relação de b e c:
2b + k = 0
c + 4k = 0
c = 8b

Substituindo em (I) ou (II), da pra achar os valores de b e c.

Aí vc pergunta: Qual a vantagem de resolver dessa forma?

Simples, dessa maneira vc evita um sistema de segundo grau pra achar a icógnita b (2x³ + bx² + cx + 4) e ainda evita ter que testar os dois valores que vc vai achar pra icógnita b e c (b = -1 ; c = -8 ) ou (b = 17 ; c = 136) e já encontra direto a equação que serve pra zerar as raízes 2 e -2

Daí em diante é só continuar normalmente, aplique briot-ruffini novamente com a outra raiz e encontre o resultado:

Resumo:
>>Fatore: (ax³ +bx² + cx + d).(4x² +kx² +1) = 8x^5 - 32x³ -x² +4


>>4ax³ = 8x³
a = 2

>>d = 4

k + 2b = 0   >>>>> k = -2b
bk + 4c = -34
b + ck = -17
c + 4k =0  >>>>>> k = -c/4

k = k
-c/4 = -2b
c = 8b

>>
2x³+bx²+cx+4
Briot - ruffini (usando a raiz 2)

>>
2x² + (4+b)x +8+2b+c
2x² + (4+b)x +8+2b+8b


Nota: Esse polinômio de segundo grau tem uma raiz -2 e a outra é o resultado da questão. Aplicando a raiz -2 é possível achar os valores de b e c

2(-2)² + (4+b).(-2) +8 + 10b = 0
b = -1  c = -8

>>>
2x² +3x -2 = 0
Raízes: -2 e 0,5


Resposta: [0,1[

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Mensagem por raquelvaladao em Sab 07 Dez 2019, 20:48

Dá pra fazer assim? Eu pensei isso mas acho que tem algo 

Rearranjei e ficou assim
p(x)= 8x^5 - 32x³ -x² +4 / 4x² +kx² +1
sendo o numerador N e o denominador D


p(x) é divisível por 2 e -2 então
p(x)=N/2.(-2).D = Q(x)/D


Peguei N e por ruffini dividi por 2, depois -2 e achei a função Q(x)=8x^3-1=0 sendo que x=+-1/2, mas substituindo -1/2 nessa Q(x) é inválido, então admiti que apenas 1/2 poderia ser uma raiz de P(x).


Tá certo isso?

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