Pirâmide e baricentro

por dani1801 Sáb 05 Nov 2016, 00:23

(Fuvest) Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo equilátero. Então, a área do quadrado, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a

a) 5/9
b) 4/9
c) 1/3
d) 2/9
e) 1/9

(se puder fazer imagem, agradeço muito!!)

por **Elcioschin** Sáb 05 Nov 2016, 19:36

Basta desenhar uma pirâmide de base quadrada ABCD com vértice V

AB = BC = CD = DA = VA = VB = VC = VD = 1

Seja M o ponto médio de AB ---> Trace VM
Marque o baricentro G da face lateral VAB ---> GV = 2.GM
Por G trace a reta A'B' paralela a AB (A' em VA e B' em VB)

VÂB = V^BA = A^VB = 60º ---> A^VM = B^VM = 30º

VM = VA.cosA^VG ---> VM = 1.cos30º ---> VM = √3/2

GV + GM = VM ---> 2.GM + GM = √3/2 ---> GM = √3/6 ---> GV = √3/3

Triângulos VA'B' semelhante ao triângulo VAB:

A'B'/GV = AB/VM ---> A'B'/(√3/3) = 1/(√3/2) ---> A'B' = 2/3 ---> Diagonal do quadrado

L = Lado do quadrado ---> D² = 2.L² ---> (2/3)² = 2.L² ---> L² = 2/9 ---> S = 2/9

por **Medeiros** Sáb 05 Nov 2016, 20:24

Élcio,
nas minhas contas, 2/3 é a diagonal do quadrado. Então, tratando esse quadrado como um losango, sua área resulta 2/9, o que concorda com o gabarito.

por **Giovana Martins** Sáb 05 Nov 2016, 20:29

Élcio, Medeiros, essa questão da FUVEST é recente, o gabarito é 2/9 mesmo.

por **Giovana Martins** Sáb 05 Nov 2016, 20:32

Resolução do Elite: http://www.elitecampinas.com.br/gabaritos/fuvest/2010/Elite_Resolve_1fase_2010.pdf

por **Medeiros** Sáb 05 Nov 2016, 21:46

Não vi o link trazido pela Giovana (grato pela confirmação do gabarito) mas segue uma possível resolução.
Pirâmide e baricentro Rgzf42

Élcio
agora acompanhei mais demoradamente sua resolução e concluo que houve má interpretação do enunciado. Você considerou o quadrado de um plano que corta na altura do baricentro das faces laterais.

por **Elcioschin** Sáb 05 Nov 2016, 22:12

Foi exatamente o que eu fiz.
Mas você está certo: os 4 baricentros são os vértices do quadrado, logo A'B' é a diagonal do quadrado (e não o lado). Já editei minha solução (em vermelho).