Pirâmide e baricentro

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Pirâmide e baricentro

Mensagem por dani1801 em Sex Nov 04 2016, 23:23

(Fuvest) Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo equilátero. Então, a área do quadrado, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a


a) 5/9
b) 4/9
c) 1/3
d) 2/9
e) 1/9


(se puder fazer imagem, agradeço muito!!)

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Re: Pirâmide e baricentro

Mensagem por Elcioschin em Sab Nov 05 2016, 18:36

Basta desenhar uma pirâmide de base quadrada ABCD com vértice V

AB = BC = CD = DA = VA = VB = VC = VD = 1

Seja M o ponto médio de AB ---> Trace VM
Marque o baricentro G da face lateral VAB ---> GV = 2.GM
Por G trace a reta A'B' paralela a AB (A' em VA e B' em VB)

VÂB = V^BA = A^VB = 60º ---> A^VM = B^VM = 30º

VM = VA.cosA^VG ---> VM = 1.cos30º ---> VM = √3/2 

GV + GM = VM ---> 2.GM + GM = √3/2 ---> GM = √3/6 ---> GV = √3/3

Triângulos VA'B' semelhante ao triângulo VAB:

A'B'/GV = AB/VM ---> A'B'/(√3/3) = 1/(√3/2) ---> A'B' = 2/3 ---> Diagonal do quadrado

L = Lado do quadrado ---> D² = 2.L² ---> (2/3)² = 2.L² ---> L² = 2/9 ---> S = 2/9


Última edição por Elcioschin em Sab Nov 05 2016, 21:15, editado 1 vez(es)
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Re: Pirâmide e baricentro

Mensagem por Medeiros em Sab Nov 05 2016, 19:24

Élcio,
nas minhas contas, 2/3 é a diagonal do quadrado. Então, tratando esse quadrado como um losango, sua área resulta 2/9, o que concorda com o gabarito.
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Re: Pirâmide e baricentro

Mensagem por Giovana Martins em Sab Nov 05 2016, 19:29

Élcio, Medeiros, essa questão da FUVEST é recente, o gabarito é 2/9 mesmo.
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Re: Pirâmide e baricentro

Mensagem por Giovana Martins em Sab Nov 05 2016, 19:32

Resolução do Elite: http://www.elitecampinas.com.br/gabaritos/fuvest/2010/Elite_Resolve_1fase_2010.pdf
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Re: Pirâmide e baricentro

Mensagem por Medeiros em Sab Nov 05 2016, 20:46

Não vi o link trazido pela Giovana (grato pela confirmação do gabarito) mas segue uma possível resolução.
[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]


Élcio
agora acompanhei mais demoradamente sua resolução e concluo que houve má interpretação do enunciado. Você considerou o quadrado de um plano que corta na altura do baricentro das faces laterais.
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Re: Pirâmide e baricentro

Mensagem por Elcioschin em Sab Nov 05 2016, 21:12

Foi exatamente o que eu fiz.
Mas você está certo: os 4 baricentros são os vértices do quadrado, logo A'B' é a diagonal do quadrado (e não o lado). Já editei minha solução (em vermelho).
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