Analise combinátoria

11 - em cada uma das retas paralelas r e s, são marcados 4 pontos representados pelos sinais # e *, Na escolha de 3 desses pontos como vértices de um triangulo, sendo um deles representados por um sinal diferente, o número de triângulos que podem ser determinados é:
a) 48
b) 46
c) 44
d) 42
e) 40

1 # e 2 * ---> 4.C(4, 2) = 4.6 = 24
1 * e 2 # ---> 4.C(4, 2) = 4.6 = 24

n = 24 + 24 ---> n = 48

O gabarito é 40☹️

O gabarito está errado:

.......... A ............ B .............. C ................ D
______#________# ________ #__________#________ r



___________* _______ * ________ * __________* ____ s
.................. E ............ F .............. G ................ H

Triângulos com 1 # e 2 *, começando por A:

AEF, AEG, AEH, AFG, AFH, AGH ---> 6 posssibilidades

Começando por B, C e D são também 6 possibilidades ---> 4.6 = 24

Idem triângulos com 1 * e 2 # ----> 24

Total = 48

O gabarito não está errado,lembrem-se da condição de existência de um triângulo: Os 3 vértices NÃO PODEM estar na mesma reta,logo excluem-se 8 casos dos 48 achados.Resposta correta é 40.

A minha solução NÃO prevê 3 pontos em linha reta. Eu sempre escolhi 1 ponto de uma reta e 2 pontos da outra. Veja a relação dos 48 triângulos:

AEF, AEG, AEH, AFG, AFH, AGH ----> 6
BEF, BEG, BEH, BFG, BFH, BGH ----> 6
CEF, CEG, CEH, CFG, CFH, CGH ----> 6
DEF, DEG, DEH, DFG, DFH, DGH ---> 6

EAB, EAC, EAD, EBC, EBD, ECD ----> 6
FAB, FAC, FAD, FBC, FBD, FCD -----> 6
GAB, GAC, GAD, GBC, GBD, GCD --> 6
HAB, HAC, HAD, HBC, HBD, HCD --> 6

Total de triângulos ....................... 48

Além disso, o total de combinações é C(8, 3) = 56
Total de três pontos em linha reta é 2.C(4, 3) = 8

Total de triângulos = 56 - 8 = 48

Boa noite, Elcioschin o gabarito realmente é 40, o enunciado pede os triângulos que contenham pelo menos um sinal diferente (ou seja, não podem ter triângulos ### nem •••). Ao contabilizar, chegamos a conclusão que são 8 triângulos com sinais iguais( 4 com dois vértices em cima, 4 com dois vértices em baixo). R letra E)

Na minha solução NÃO existem 3 pontos iguais de uma mesma reta, senão não formariam triângulos.

a) 1 # da 1ª reta e 2 * da 2ª reta ---> 4.C(4, 2) = 4.6 = 24

b) 2 # da 1ª reta e 1 * da 2ª reta ---> C(4, 2).4 = 6.4 = 24

Total .................................................................... = 48

Vou mostrar as 24 primeiras, sendo A, B, C, D na primeira reta e M, N, P, Q na 2ª reta

AMN, AMP, AMQ, ANP, ANQ, APQ ---> 6
BMN, BMP, BMQ, BNP, BNQ, BPQ ---> 6
CMN, CMP, CMQ, CNP, CNQ, CPQ ---> 6
DMN, DMP, DMQ, DNP, DNQ, DPQ --> 6

Total ......................................... = 24

O mesmo vale para as outras 24

.....

Insisto a informar que os pontos iguais não são da mesma reta, e sim de retas diferentes. Entendo que, de acordo com sua solucao, os pontos que formam triangulos serão todas as opcoes exceto os pontos colineares. No entanto, de acordo com o pedido, a questâo solicita:
"sendo um deles representado por um sinal diferente"

Dessa forma, excluir-se-ão triangulos com tres simbolos iguais em retas DIFERENTES.

48 - 8 = 40

Resposta: Letra e)