Combinações simples - (comissão de alunos)
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Combinações simples - (comissão de alunos)
por Jose Reis Lima Seg 21 Mar 2011, 16:57
Considere uma turma com n alunos, numerados de 1 a n Deseja-se organizar uma comissão de 3 alunos. De quantas maneiras pode ser formada essa comissão, de modo que não façam parte da mesma dois ou três alunos designados por números consecutivos.
Resposta: n ^3-9n^2+26n-24/6
Resposta: n ^3-9n^2+26n-24/6
Jose Reis Lima- Iniciante
- Mensagens : 1
Data de inscrição : 28/12/2010
Idade : 57
Localização : Campo Grande
Uma solução.
por Carlos Eustáquio pinto Seg 02 Jan 2012, 18:47
Solução:
Todas as comissões possíveis contendo 3 alunos:
C n, 3 = n!/[3!(n – 3)!] = n(n – 1)(n – 2)/6 = n(n² – 3n +2)/6 = (n³ – 3n² + 2n)/6.
Agora temos que contar as comissões com dois e as com três alunos consecutivos.
Observe o esquema a seguir:
| 1 _ 2 | 3 _ 4 _ 5 ... (n – 2) _ (n – 1) _ n _
_ 1 | 2 _ 3 | 4 _ 5 ... (n – 2) _ (n – 1) _ n _
_ 1 _ 2 | 3 _ 4 | 5 ... (n – 2) _ (n – 1) _ n _
...
_ 1 _ 2 _ 3 _ 4 _ 5 ... (n – 2) | (n – 1) _ n |
As barras verticais separam dois alunos consecutivos e elas podem ser transladadas n – 1 vezes para a direita. Então devemos contar o total de alunos que podem ser inseridos nas comissões com 2 alunos designados por números consecutivos. Note que essa quantidade é igual a n – 2, pois são n alunos e não serão contados os 2 que estão entre as barras. Ao fazer isso já contamos as situações em que há 3 alunos designados por números consecutivos na mesma comissão, só que há um pequeno e sutil detalhe, as comições de 3 alunos designados por números consecutivos foram contadas duas vezez, então devemos retirar uma vez essa quantidade.
| 1 _ 2 _ 3 | 4 _ 5 ... (n – 2) _ (n – 1) _ n _
No esquema acima podemos observar que as barras verticais separam três alunos consecutivos e elas podem ser transladadas n – 2 vezes para a direita.
Quantidade de comissões com dois ou três alunos designados por números consecutivos:
(n – 1)(n – 2) – (n – 2) = n² – 3n + 2 – n + 2 = n² – 4n + 4.
O resultado é obtido com a subtração de todas as possibilidades pelas possibilidades da restrição:
(n³ – 3n² + 2n)/6 – (n² – 4n + 4) = (n³ – 3n² + 2n – 6n² + 24n – 24)/6 = (n³ – 9n² + 26n – 24)/6.
Todas as comissões possíveis contendo 3 alunos:
C n, 3 = n!/[3!(n – 3)!] = n(n – 1)(n – 2)/6 = n(n² – 3n +2)/6 = (n³ – 3n² + 2n)/6.
Agora temos que contar as comissões com dois e as com três alunos consecutivos.
Observe o esquema a seguir:
| 1 _ 2 | 3 _ 4 _ 5 ... (n – 2) _ (n – 1) _ n _
_ 1 | 2 _ 3 | 4 _ 5 ... (n – 2) _ (n – 1) _ n _
_ 1 _ 2 | 3 _ 4 | 5 ... (n – 2) _ (n – 1) _ n _
...
_ 1 _ 2 _ 3 _ 4 _ 5 ... (n – 2) | (n – 1) _ n |
As barras verticais separam dois alunos consecutivos e elas podem ser transladadas n – 1 vezes para a direita. Então devemos contar o total de alunos que podem ser inseridos nas comissões com 2 alunos designados por números consecutivos. Note que essa quantidade é igual a n – 2, pois são n alunos e não serão contados os 2 que estão entre as barras. Ao fazer isso já contamos as situações em que há 3 alunos designados por números consecutivos na mesma comissão, só que há um pequeno e sutil detalhe, as comições de 3 alunos designados por números consecutivos foram contadas duas vezez, então devemos retirar uma vez essa quantidade.
| 1 _ 2 _ 3 | 4 _ 5 ... (n – 2) _ (n – 1) _ n _
No esquema acima podemos observar que as barras verticais separam três alunos consecutivos e elas podem ser transladadas n – 2 vezes para a direita.
Quantidade de comissões com dois ou três alunos designados por números consecutivos:
(n – 1)(n – 2) – (n – 2) = n² – 3n + 2 – n + 2 = n² – 4n + 4.
O resultado é obtido com a subtração de todas as possibilidades pelas possibilidades da restrição:
(n³ – 3n² + 2n)/6 – (n² – 4n + 4) = (n³ – 3n² + 2n – 6n² + 24n – 24)/6 = (n³ – 9n² + 26n – 24)/6.
Carlos Eustáquio pinto- Iniciante
- Mensagens : 22
Data de inscrição : 09/07/2011
Idade : 46
Localização : Sarzedo, Minas Gerais, Brasil
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