Provar Fatorações, POTI

Achei essa no POTI, sorte minha haha


A)  Seja    Veja que    então  
Conclua que , para quaisquer x e y vale:




B)  Mostre que se  é impar vale:

Acho que o item A) você digitou errado, pois

x^3 +y^3 \neq (x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3

Acredito que o correto seria

x^n - y^n = (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\cdots+x^2y^{n-3}+xy^{n-2}+y^{n-1})

Se isso for o correto mostramos o item A) da seguinte forma:

Seja

S=x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\cdots+x^2y^{n-3}+xy^{n-2}+y^{n-1}   (1)

então
xS=x^n+x^{n-1}y+x^{n-2}y^2+\cdots+x^3y^{n-3}+x^2y^{n-2}+xy^{n-1}    (2)

e

yS=x^{n-1}y+x^{n-2}y^2+x^{n-3}y^3+\cdots+x^2y^{n-2}+xy^{n-1}+y^n

yS-y^n=x^{n-1}y+x^{n-2}y^2+x^{n-3}y^3+\cdots+x^2y^{n-2}+xy^{n-1}      (3)

De (2) e (3) Observe que

xS=x^n+\underbrace{x^{n-1}y+x^{n-2}y^2+\cdots+x^3y^{n-3}+x^2y^{n-2}+xy^{n-1}}_{yS-y^n}

então
xS=x^n+yS-y^n
xS-yS=x^n-y^n
(x-y)S=x^n-y^n
x^n-y^n=(x-y)S

substituindo (1) em S


x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\cdots+x^2y^{n-3}+xy^{n-2}+y^{n-1})

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O item B)

se n é impar, logo n é da forma n=2k+1

ou seja provar que
x^n+y^n=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^2-\cdots+x^2y^{n-3}-xy^{n-2}+y^{n-1})
é o mesmo que provar

que  x+y|x^n+y^n=x^{2k+1}+y^{2k+1}

provaremos por indução:

A afirmação é verdadeira para k=0, pois x+y divide x^{2\cdot0+1}+y^{2\cdot0+1}=x^1+y^1=x+y.

Suponhamos, agora que x+y|x^{2k+1}+y^{2k+1}  (hipótese de indução).

Para k+1 escrevamos

x^{2(k+1)+1}+y^{2(k+1)+1}=x^{2k+2+1}+y^{2k+2+1}
x^{2(k+1)+1}+y^{2(k+1)+1}=x^{2+2k+1}+y^{2+2k+1}
x^{2(k+1)+1}+y^{2(k+1)+1}=x^2x^{2k+1}+y^2y^{2k+1}
x^{2(k+1)+1}+y^{2(k+1)+1}=x^2x^{2k+1}+y^2y^{2k+1}-y^2x^{2k+1}+y^2x^{2k+1}
x^{2(k+1)+1}+y^{2(k+1)+1}=x^2x^{2k+1}-y^2x^{2k+1}+y^2x^{2k+1}+y^2y^{2k+1}
x^{2(k+1)+1}+y^{2(k+1)+1}=\underbrace{(x^2-y^2)}_{(1)}x^{2k+1}+y^2\underbrace{(x^{2k+1}+y^{2k+1}}_{(2)})

Como

em (1) x+y|x^2-y^2=(x+y)(x-y)

e por hipótese de indução

em (2) x+y|x^{2k+1}+y^{2k+1}

decorre das igualdades acima  que

x+y|x^{2(k+1)+1}+y^{2(k+1)+1}

como queríamos demostrar.

De fato errei, era  Mesmo haha, Incrível !!