Função do 2° grau bijetiva

por Thayzsq Seg 12 Set 2016, 17:37

Considere a função f:ℝ_→[-1;+ ∞[ e f(x)=x²-1. Prove que f é bijetora e determine fˉ¹.

P.S.: O que eu preciso mesmo entender é como se prova que f é bijetora, quanto á obter fˉ¹ ta tudo ok.

por **Claudir** Seg 12 Set 2016, 17:46

Para provar que f é bijetora, basta provar que ela é injetora e sobrejetora.

- Prova da injetividade:

f(x₁) = f(x₂) ↔ x₁ = x₂

x₁² - 1 = x₂² - 1 ---> x₁² = x₂²
x₁ = x₂ ou x₁ = -x₂

* Se o domínio for ℝ⁺, então ela é injetora. Conforme o seu enunciado, ela não seria injetora, já que o domínio contempla valores negativos.

- Prova da sobrejetividade:

Basta mostrarmos que existe y no contradomínio para qualquer x pertencente ao domínio.

y = x² - 1 ---> x = √(y + 1)

Condição de existência: y + 1 ≥ 0 ---> y ≥ -1

Ela é sobrejetora apenas para valores de y maiores ou iguais a -1, o que concorda com seu contradomínio, portanto, f é sobrejetora.

por Thayzsq Ter 13 Set 2016, 15:38

Mas veja bem, se construíssemos o gráfico dessa função, veríamos que é uma hipérbole equilátera, o que condiz com a definição de função bijetora para funções do segundo grau, mas a minha dificuldade está em demonstrar isso algebricamente.

Função do 2° grau bijetiva Aayfir

por **Claudir** Ter 13 Set 2016, 15:53

O gráfico da equação é uma parábola com concavidade para cima:

Função do 2° grau bijetiva 2wbz5lg

Como eu disse, para que seja injetora (e portanto bijetora) precisamos restringir o domínio a valores apenas negativos ou apenas positivos de x.

por **Claudir** Ter 13 Set 2016, 15:57

Você postou o domínio como sendo ℝ_. Se isso foi um erro de digitação, quando na verdade deveria ser ℝ^-, então, sim, a função será também injetora e bijetora, portanto.

Nesse caso, o gráfico será apenas a metade contida na parte negativa do eixo das abscissas.

por Thayzsq Qua 14 Set 2016, 09:24

Pré-Iteano escreveu:Você postou o domínio como sendo ℝ_. Se isso foi um erro de digitação, quando na verdade deveria ser ℝ^-, então, sim, a função será também injetora e bijetora, portanto.

Nesse caso, o gráfico será apenas a metade contida na parte negativa do eixo das abscissas.

Mas eu indiquei o domínio como sendo nos inteiros não positivos (ℝ_). Eu não sabia que aqui no fórum ele é representado desta maneira:ℝˉ. Se for isso então, me perdoe pelo erro e muito obrigado pela ajuda. Eu até achei que você tinha entendido que o domínio estava contido nos reais não positivos pela seguinte frase dita por você: * Se o domínio for ℝ⁺, então ela é injetora. Conforme o seu enunciado, ela não seria injetora, já que o domínio contempla valores negativos.

por **Claudir** Qua 14 Set 2016, 12:28

Seria injetora tanto para o domínio sendo ℝ^- quanto para ℝ⁺.

Sempre que você quiser tornar uma função do segundo grau injetiva, deverá restringir o domínio a apenas um dos lados da parábola, a partir do vértice, pelo menos. Wink