Funções seno e cosseno

por Pedro H. V. Qua 07 Set 2016, 14:26

Mackenzie 97) f1(x) = sen x + cos x e
f2(x) = 3sen x cos x

Relativamente às funções anteriores, de domínio
IR, fazem-se as afirmações.

I- O período de f1(x) é 2 pi
II- O maior valor que f2(x) pode assumir é 1,5.
III- O conjunto imagem de f1(x) está contido no
conjunto imagem de f2(x)

Então:

a) todas são verdadeiras.
b) somente II e III são verdadeiras.
c) somente I e III são verdadeiras.
d) somente I e II são verdadeiras.
e) somente III é verdadeira.

por **Claudir** Qua 07 Set 2016, 15:05

f₁ = senx + cosx

O período da função seno é igual ao da função cosseno (2pi), logo, o período da soma das duas funções deverá ser tal que:

p_sen/p_cos = 2pi/2pi =1 ---> T_f1 = p_sen.1 = p_cos.1 = 2pi

f₂ = 3.senx.cosx

Para maximizar tal função, precisamos maximizar senx.cosx:

sen(2x) = 2.senx.cosx ---> senx.cosx = [sen(2x)]/2 ---> máx(senx.cosx) = 1/2 ---> máx(3.senx.cosx) = 3/2 = 1,5

y = senx + cos x ---> y² = 1 + 2.senx.cosx ---> sen(2x) = y² - 1 ---> x = [arcsen(y² - 1)]/2
-1 ≤ y² - 1 ≤ 1 ---> y² ≤ 2 ---> -√2 ≤ y ≤ √2

y = 3.senx.cosx ---> y/3 = [sen(2x)]/2 ---> x = [arcsen(2y/3)]/2
-1 ≤ 2y/3 ≤ 1 ---> -3/2 ≤ y ≤ 3/2

Logo, Im(f₁) ⊂ Im(f₂).

Alternativa A, portanto.

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