MHS dentro da Terra

Considere a Terra uma esfera homogênea de raio R e massa M. suponha que um pequeno corpo de massa m seja abandonado apartir do repouso em uma das bocas de um tunel que atravessa totalmente o planeta, cavado ao longo de seu eixo de rotação.

A) Mostre que, se não houvesse qualquer dissipação de enegia mecanica, o corpo abandonado realizaria um movimento harmonico simples.
B)Calcule o período desse movimento.
Dados:
G=6,7 X 10^-11 Nm²/Kg²
pi= 3,14
R=6,4X10^6 m
M =6,0X10^24 Kg
C) mostre que o periodo obitido no item B é igual ao periodo do movimento do corpo de massa m em orbita circular rasante em torno da Terra(evidentemente, desprezando os atritos).

Gabarito

Spoiler:

Vi uma questão bem parececida com o que você propõe na Seara das Ciências site da UFC-CE o endereço é: http://www.searadaciencia.ufc.br/questoes/fisica/qmec.htm#

Na questão 11 clique em solução!

1- Verificar se o movimento do corpo abandonado num túnel que atravessa a Terra pode ser um MHS

Pressupostos conceituais necessários:

1- a massa de uma casca esférica não exerce atração gravitacional sobre um corpo situado no seu interior.
2- a massa gravitacional de um corpo pode ser considerada como se estivesse concentrada no seu centro.
3- a densidade da Terra será considerada uniforme.



na figura acima a massa que exerce atração gravitacional sobre o corpo representado pela bolinha é a massa contida na esfera pontilhada, considerada como se estivesse concentrada no centro da Terra. Sendo uniforme a densidade, a massa será proporcional ao volume contido nessa esfera. Vamos calcular essa massa em função da massa da Terra:



com isso podemos equacionar a força que atua sobre o corpo em qualquer posição



agora note que todos os elementos contidos na fração da expressão acima são constantes e se fizer com que x seja um vetor medido a partir do centro da Terra, a força de atração terá sentido oposto a x e podemos escrever



o que mostra que a força tem característica de força elástica e, portanto, o movimento será um MHS.

Como a questão é longa, retornarei a ela posteriormente, o que não impede que alguém a continue.

2- Parte II - Calculando o período

Agora que entendemos a natureza elástica da força podemos usar um formulário específico do MHS para calcular o período

comparando as expressões obtidas em II e III vemos que são iguais.

Bom dia a Todos,

Obrigado a vocês dois, tanto Euclides como aryleudo, a contribuição de ambos foi muito importante.

Bom Carnaval a todos.

Eu tava tentando lembrar de um conceito que envolvia isso daí. É algo relacionado com túnel gravitacional, algo assim, corrijam-me se estiver enganado, mas um professor me disse que distâncias diferentes poderiam ser feitas em tempos iguais fazendo um túnel passando por dentro do planeta. Repito, corrijam se eu estiver enganado, mas tenho quase certeza de que é algo relacionado a isso...Gostaria de saber mais a respeito...desde já agradeço!

Muito boa explicacao, mestre!
Só to estranhando um pouco esses conceitos pois n foram apresentados no meu livro. A
unica coisa que é citada com relacao a pontos internos ao astro é que g = k.r,
sendo r o raio de uma superficie esferica concentrica ao astro de raio R, com r < R.
Teria como o sr aprofundar um pouquinho mais com relacao a forca gravitacional no interior da Terra? Pois me deparei com esse tipo de exercicio sobre tunel gravitacional e fiquei bastante intrigada
Obrigada!

Ah, quanto a pergunta q o WladimirC fez, acredito q o percurso de diferentes distancias passando por dentro do planeta sejam realizadas em tempos iguais, pois o período independe da distancia percorrida. Se meu raciocinio estiver errado, por favor, me corrijam

mestre euclides eu nao entendi o seguinte como vc colocou aquela constante K da força elastica?(é na resoluçao da primeira pergunta)

thiago ro escreveu:mestre euclides eu nao entendi o seguinte como vc colocou aquela constante K da força elastica?(é na resoluçao da primeira pergunta)

Thiago,

quando calculamos a força gravitacional sobre o corpo no interior da Terra encontramos



observe que



e se a distância x é medida desde o centro da Terra a força de atração tem sinal oposto. Escrevendo a expressão anterior e chamando de k aquela constante, verificamos que a força tem um expressão geral do tipo:



que é a expressão tipica de uma força restauradora.