Plano complexo com uma circunferência

(UFJF-MG) A figura, no plano complexo, o círculo de raio 1, os afixo de cinco números complexos e as bissetrizes dos quadrantes. O número complexo , em que  é a unidade imaginária e  é o conjugado de , é igual a :


A) z     B) w     C) r     D) s     E) t    

Resposta : A


O problema que tive foi identificar os dados informados e o quê está sendo pedido nessa questão, pois, para mim, o número complexo , além do que é apresentado pela figura, é também qualquer número que possa ser escrito na forma , tornando a questão dúbia. Queria saber se meu raciocínio está correto ou foi apenas coincidência obter como resultado a alternativa A.


Comecei desenvolvendo o número complexo  (apresentado pela figura) na forma trigonométrica, como o ponto está posicionado em cima da circunferência e a mesma tem raio igual a  então .



Multiplicando ambos membros da equação por 



Portanto, é possível dizer que , tornando a alternativa A correta.

Um outro modo

z = a + b.i
_ .................. _
z = a - b.i ---> z = t
__
i.z = i.t ---> A multiplicação por i significa um giro de 90º no sentido trigonométrico:
__
i.z = z

Obrigado Elcioschin, por estar no ensino médio ainda tenho dificuldades de observar a questão deste modo, portanto, poderia explicar o motivo do giro de 90º ao multiplicar por  ?

Posso sim. Vou explicar com números, para facilitar:

Imagine um complexo z = 4 + 3.i (no 1º quadrante do Plano de Argand-Gauss).

|z|² = 4² + 3² ---> |z| = 5

O complexo z faz com o eixo real um ângulo θ, tal que cosθ = 4/5.
Logo, faz com o eixo imaginário um ângulo 90º-θ.
Desenhe o afixo de z e marque os dois ângulos.

i.z = i.(4 + 3.i) ---> i.z = 3.i² + 4.i ---> i.z = - 3 + 4.i

Represente o complexo i.z (no 2º quadrante)
Note que o complexo i.z faz o mesmo ângulo θ, agora com o eixo y.
Logo, o angulo φ entre z e i.z vale ---> φ = θ + (90º - θ) ---> φ = 90º

Assim, multiplicar um complexo z pelo imaginário i significa girar o afixo de z, 90º no sentido trigonométrico.

Logo, girando t de 90º, obtemos z