Função Inversível

Seja a função f, de R em R , definida por :

f(x) = 2x + 1 + | x - 1 |

a) Dê f-¹ :

Resposta : f-¹: R em R ; f-¹(x) = 2x/3 - 1 - 1/3|x-3|
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Minha resposta ficou f-¹(x) = x/3 , se x (maior ou igual) 3
                                               = x-2 , se x < 3

Eu não consegui colocar na forma do gabarito , podem me ajudar , por favor .

Minha resposta ficou f-¹(x) = x/3 , se x (maior ou igual) 3
                                               = x-2 , se x < 3

Eu não consegui colocar na forma do gabarito , podem me ajudar , por favor .

Na barra lateral direita tem símbolos especiais para "copiar/colar" e, caso queira perfeição editorial, use o editor LaTex que preferir...

Sua resposta ficaria, usando o "copiar/colar", assim:


f ^-1 (x) = x / 3 , se x ≥ 3

ou

f ^-1 (x) = x - 2 , se x < 3


Você também pode fazer como alguns, que fazem a sua própria coleção de símbolos especiais úteis, "colando-os" nas suas próprias "mensagens de rodapé", estando sempre à mão.

Ou, ainda, como eu geralmente faço: em vez do modo "RESPOSTA RÁPIDA" eu uso o "RESPONDER", que tem mais ferramentas de edição, tais como subíndices e expoentes (subescrito e superescrito), no botão "mais" [●●●].

Vamos à questão ! Vamos lá !

1) Dados: f : ℝ ↦ ℝ ; f(x) = 2x + 1 + | x - 1 |


2) Pede-se: f^-1


3) Sabendo-se:

a) Inversa de uma Função




b) O gráfico de f-¹ (x) é simétrico ao de f(x) em relação à reta  r: y = x  (bissetriz do 1º e 3º quadrantes).



c)  | u(x) | ≡ √( u²(x) )

f(x) = |u(x)| →

f(x) = u(x), para u(x) ≥ 0

OU (UNIÃO)

f(x) = - u(x), para u(x) < 0

d) Resolução de Sistemas de Equações Lineares

e) Identidade de Polinômios


4) Tem-se:

a) f(x) = 2x + 1 +  x - 1 , para  (x - 1) ≥ 0 →  x ≥ 1  

y = 3x

x ≥ 1  → y ≥ 3

x = y /3

y x

y = f ^-1 (x) = x /3, se  x ≥  3


b) Ou f(x) = 2x + 1  + ( - ( x - 1) ) , para (x - 1) < 0 → x < 1

y = 2x + 1 - x + 1

y = x + 2

x < 1 → y < 3

x = y - 2

y x

y = f ^-1 (x) = x - 2 , para  x < 3


c) Graficamente:



d) Agora é só transformar a união das duas funções em uma modular mista. O processo inverso do que foi feito antes:

f ^-1 (x) = ax + b + c|x - 3|

Para a primeira:

f^-1 (x) = x /3, se  x ≥  3

f^-1 (x) = ax + b + c(x - 3)

ax + b + cx - 3c ≡ x / 3

(a + c)x + (b - 3c) ≡ x / 3

Da identidade entre os polinômios, tem-se:

(a + c) = 1 / 3   → 3a + 3c = 1

b - 3c = 0


Para a segunda:

f ^-1 (x) = x - 2 , para  x < 3

ax + b - c(x  - 3) ≡ x - 2

(a - c)x + (b + 3c) ≡ x - 2

Da identidade entre os polinômios, tem-se:

a - c = 1  

b + 3c  = - 2

O que nos dá o sistema:

 3a + 3c = 1
  b - 3c = 0
  a - c = 1  
  b + 3c  = - 2

Cuja solução é:

a = 2/3 ; b = -1 ; c = -1/3

Logo, tem-se a função compacta requerida:


f ^-1 (x) = 2x / 3 - 1 - |x - 3| / 3


Conferindo, graficamente:



! !