Matriz Inversível

Olá, preciso de uma ajuda para provar esses dois itens

a) Se A é uma matriz inversível de ordem n e se 0 denota a matriz coluna n x 1 com entradas todas nulas, então a matriz X = 0 é a única solução do sistema A . X = 0


b) Se A é uma matriz inversível de ordem n e se B é uma matriz coluna n x 1, então a equação matricial A . X = B tem uma única solução

Agradeço desde já!

A)
i)Definindo X e A:

[latex]X=\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots \\x_{n-1}\\x_{n} \end{bmatrix}[/latex]

[latex]A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix}[/latex]

ii)Produto de matrizes:

[latex] \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots \\x_{n-1}\\x_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\ 0\\ \vdots \\0\\0 \end{bmatrix}[/latex]

[latex]\left\{\begin{matrix} a_{11}\cdot x_{1} + a_{12} \cdot x_{2} + \cdots +a_{1n}\cdot x_{n}=0\\ a_{21}\cdot x_{1} + a_{22} \cdot x_{2} + \cdots +a_{2n}\cdot x_{n}=0\\ \cdots \\ a_{n1}\cdot x_{1} + a_{n2} \cdot x_{2} + \cdots +a_{nn}\cdot x_{n}=0\end{matrix}\right.[/latex]

iii)Para o sistema ser definido temos que:

[latex]\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix} \neq 0[/latex]

e isso está correto, pois a matriz A é invertível.

iv)Logo, pela Regra de Cramer temos:

[latex]x_{1}=\frac{\begin{vmatrix} 0 & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}}=\frac{0}{detA}=0[/latex]

Analogamente temos: x₂ = x₃ = x₄ = ... = x_n = 0

Portanto,

[latex]X=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ \vdots \\0\\0 \end{bmatrix}[/latex]

X é uma matriz nula.

B) Não entendi o comando da questão. Logo, me abstenho de fazer-lá.

A demonstração da letra B segue um processo similar ao da letra A, porém ao invés de demonstrar-se para uma situação especifica (X = 0 é a única solução do sistema A*X = 0), demonstrar-se para qualquer matriz B real. É basicamente a constatação de que um sistema linear possível e determinado possui solução única. Note que, usando a regra de Cramer, para um sistema A*X = B, com A inversível (e, consequentemente, det(A) ≠ 0), tem-se que cada componente i (i = 1, 2, ..., n) do vetor X (de ordem n) é dado por x_i = det(A_i)/det(A) (onde A_i é obtida da matriz A com a substituição da coluna i pelo vetor B), que é único, uma vez que cada um é equivale a razão de dois números reais, onde o denominador é diferente de zero. Logo, existe apenas um único vetor X que satisfaz esse sistema.