Atomística equação de Rydberg

por Pedro Prado Qui 11 Ago 2016, 08:46

Um elemento químico recebe uma certa quantidade de energia e seus elétrons ficam excitados no quinto nível, para então retornarem ao nível de liberação de luz visível. Qual a frequência dessa onda?

Não tenho gabarito

por **Claudir** Qui 11 Ago 2016, 10:58

por Pedro Prado Qui 11 Ago 2016, 18:26

Comecei esse assunto agora, e estou com sérias dúvidas; tenho feito algumas listas do rumo ao ita e já vi essa equação ser apresentada de várias formas

$\\\frac{1}{\lambda }=RZ^2\left | \frac{1}{n_i^2} -\frac{1}{n_f^2}\right |\\\\\\\frac{1}{\lambda }=R\left | \frac{1}{2^n} -\frac{1}{n^2}\right |\;\;\;\;(n>2)$

E agora como você mostrou... realmente não consigo compreender isso, se puder me dar uma força, agradeço

por **Claudir** Qui 11 Ago 2016, 20:54

Algumas equações são equivalentes, apenas com algumas constantes substituídas ou não.

A equação que postei é apenas para o hidrogênio, enquanto que a equação mais geral é a primeira que você citou (válida para qualquer átomo hidrogenóide).

Vejamos a dedução, para que não reste dúvidas:

- Partimos da equação para a energia total da órbita do elétron ao redor do núcleo (conforme o modelo de Bohr):

$\\\\E=E_c+E_p=\frac{mv^2}{2}-\frac{kZe^2}{r}\ \ \ (I)$

- A força elétrica faz o papel de força centrípeta:

$\\\\F_e=F_{cp}\to \frac{kZe^2}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\to v^2=\frac{kZe^2}{rm}=\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon _0rm}\ \ \ (II)$

- Postulado de Bohr:

$\\\\mvr=\frac{nh}{2\pi}\to v^2=\frac{n^2h^2}{4\pi^2m^2r^2}\ \ \ (III)\\\\$

$\\\\(II)=(III):\\\\\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon _0rm}=\frac{n^2h^2}{4\pi^2m^2r^2}\to r=\frac{\varepsilon _0n^2h^2}{\pi mZe^2}\ \ \ (IV)$

$\\\\(II)\ em\ (I):\\\\E=\frac{Ze^2}{2.4\pi \varepsilon _0rm}-\frac{Ze^2}{4\pi \varepsilon _0rm}=-\frac{Ze^2}{8\pi \varepsilon_0r}\ \ \ (V)\\\\(IV)\ em\ (V):\\\\E=-\frac{Z^2e^4m}{8\varepsilon _0^2h^2n^2}\to \Delta E=\left ( -\frac{Z^2e^4m}{8\varepsilon _0^2h^2n_f^2} \right )-\left ( -\frac{Z^2e^4m}{8\varepsilon _0^2h^2n_i^2} \right )=\frac{Z^2e^4m}{8\varepsilon _0^2h^2}.\left ( \frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2} \right )\\\\mas:\ \Delta E=\frac{hc}{\lambda }$

Igualando as duas expressões para ∆E:

$\\\\\frac{hc}{\lambda }=\frac{Z^2e^4m}{8\varepsilon _0^2h^2}.\left ( \frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2} \right )\to \frac{1}{\lambda }=\frac{Z^2e^4m}{8\varepsilon _0^2h^3c}.\left ( \frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2} \right )$

Perceba que, fora dos parênteses, há apenas constantes (exceto o Z). Substituindo essas constantes pelos valores numéricos, obteremos a constante de Rydberg (R) e, portanto:

$\boxed{\frac{1}{\lambda }=RZ^2\left ( \frac{1}{n_i^2}-\frac{1}{n_f^2} \right )}$