Logaritmos - Dúvida

por Stanley Rick Ter 09 Ago 2016, 20:18

(Vunesp) Determine n ∈ ℕ a fim de que se tenha:
\log_{3}\frac{3}{2}+\log_{3}\frac{4}{3}+\log_{3}\frac{5}{4}+...+\log_{3}\frac{n}{n-1}=2

Resposta: n=18

Está resolvido, mas não propriamente comentado:

\log_{3}\left ( \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot\frac{5}{4} \cdot...\cdot\frac{n-1}{n-2}\cdot\frac{n}{n-1}\right )=2

São cancelados os termos \frac{n-1}{n-2}\cdot\frac{n}{n-1} restando apenas n/2. A minha dúvida é nessa parte de cancelar os termos que vão se repetir, mais especificamente na dúvida, de onde surgiu ou como chegar a essa lógica do (n-1)/(n-2), o penúltimo termo.

por **Elcioschin** Ter 09 Ago 2016, 20:29

Os termos do numerador, sempre se cancelam com o denominador subsequente: 3 com 3, 4 com 4, 5 com 5, (n-2) com (n-2) e (n-1) com (n-1).

Os únicos que não se cancelam são o 1º denominador (2) e o último numerador (n), já que não existe denominador subsequente.

log₃(n/2) = 2 ---> n/2 = 3² ---> n = 18

por Stanley Rick Ter 09 Ago 2016, 20:33

Muito obrigado!

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