Determinar N

Seja N = 2^5 x p x q, onde p e q, são números primos. Determine N, tal que a soma de todos os divisores positivos de N seja igual ao triplo de N.

Marcos Aratuba escreveu:Seja N = 2^5 x p x q, onde p e q, são números primos. Determine N, tal que a soma de todos os divisores positivos de N seja igual ao triplo de N.

Boa noite, Marcos.

Como calcular a soma dos divisores positivos de um número:
Exemplo: 360 = 2³ . 3² . 5¹

No caso, qualquer fator elevado a 1; da simplesmente somar +1; não precisa ser todos elevado a 1. pra poder fazer dessa forma, no ultimo exemplo daria.
fatoração 360 = 2³.3².5¹
2^4-1 / 2-1 = 15
3^3-1 / 3-1 = 13
5+1= 6

A seguir, multiplique os resultados acima entre si:
Soma dos divisores de 2³.3².5¹ = 15.13.6 = 1170

Ou, mais detalhadamente:
(1+2+4+8 )*(1+3+9)*(1+5) = 15.13.6 = 1170
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Assim, a soma dos divisores de N = 2⁵.p.q é igual a:
2^6-1 / 2-1 = 64-1 / 1 = 63
De p = p+1
De q = q+1

63 * (p+1) * (q+1) = 3 * (2⁵.p.q) = 2⁵.3.p.q
63 * (pq + p + q + 1) = 96.pq

63.pq + 63(p+q+1) = 96.pq
(96-63).pq = 63(p+q+1)
33.pq = 63(p+q+1)

63/33 = pq / (p+q+1)
21/11 = pq / (p+q+1)

Assim, devemos ter:
21 = pq
11 = p+q+1

Como p e q são números primos, obviamente devem ser 3 e 7.
Confirmando:
21 = 3*7
11 = 3+7+1

Podemos pois escrever:
N = 2⁵.3.7 = 32*21
N = 672


Conferindo:
Soma dos divisores de N:
(2⁶-1)/(2-1) * (1+3) * (1+7) = 63 * 4 * 8 = 2016
2016 = 3*672



Um abraço.