(ITA) área dos triângulos

Um triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5 cm. Sabe-se ainda que AB é o diâmetro, BC mede 6 cm e a bissetriz do ângulo A^BC intercepta a circunferência no ponto D. Se α é a soma das áreas dos triângulos ABC e ABD e β é a área comum aos dois, o valor de α – 2β, em cm2, é igual a:

Resp: 14

Desenhe um sistema xOy e a circunferência com centro na origem O(0, 0), A(-5, 0), B(5, 0)

Poste o ponto C(xC, yC) sobre a circunferência, no 1o quadrante, tal que BC = 6

ABC é retângulo em C ---> AC² = AB² - BC² ---> AC² = 10² - 6² ---> AC = 8

Trace AC e BC e a bissetriz AD e seja A^BD = C^BD = x ---> A^BC = 2.x

sen(A^BC) = AC/AB ---> sen(2.x) = 8/10 ---> sen(2.x) = 4/5

sen(2x) = 2.senx.cosx ---> 4/5 = 2.senx.cosx ---> 5.senx.cosx = 2

25.sen²x.cos²x = 4 ---> 25.sen²x.(1 - sen²x) = 4 ---> 25.(sen²x)² - 25.(sen²x) + 4 = 0

sen²x = 1/5 ---> senx = √5/5 

S(ABC) = AC.BC/2 ---> S(ABC) = 8.6/2 ---> S(ABC) = 24 cm²

BD = AB. senx ---> BD = 10.(√5/5) ---> BD = 2.√5

AD² = AB² - BD² ---> AD² = 10² - (2.√5)² ---> AD = 4.√5

S(ABD) = AB.BD.senx/2 ---> S(ABD) = 10.(2.√5).(√5/5)/2 ---> S(ABD) = 10 cm²

α = 24 + 10 ---> α = 34



Seja H o pé da perpendicular de C sobre AB e P o ponto de encontro das retas AC e BD

AH = AC.sen(2.x) --> AH = 8.(4/5) --> AH = 32/5 --> OH = AH - OA --> xC = 32/5 - 5 --> xC = 7/5


CH = BC.sen(2.x) --> CH = 6.(4/5) ---> yC = 24/5 

Por meio similar calcule D(xD, yD), no triângulo retângulo ADC

Determine as equações das retas AC e BD e calcule as coordenadas do ponto P(xP, yP)

Calcule BP ---> BP² = ((xB - xP)² + (yB - yP)²

Área comum = APD ---> S(APD) = AB.BP.senx/2 ---> β = 10.BP.(√5/5)/2 


Complete

De outra forma:


(ignore o ângulo gama)

- Determinaremos p e q pelo teorema da bissetriz interna:




- Área do ∆ABD:




- Área do ∆AEB:




Logo:

Obrigada!