Circunferências tangentes

por Smasher Sex 08 Jul 2016, 14:03

As circunferências x²+y²-4x=0 e x²+y²=k são tangentes. Quanto vale k?

Resposta :16

por GFMCarvalho Sex 08 Jul 2016, 14:44

Vamos arrumar a primeira equação para deixá-la na forma reduzida:

x² - 4x + 4 + y² = 4

(x-2)² + y² = 2²

O centro é: C(2; 0) e possui R = 2

Para a segunda, C'(0; 0) e raio R' = \sqrt k

Mas observe que a distância entre os centros das duas é igual ao raio da primeira! Isso nos diz que elas não podem ser tangentes externamente(nesse caso, o raio da segunda seria zero!). Logo, concluímos que devem ser tangentes internamente. Da condição para essa tangência:

d_{C_1C_2}=R-r

R, nesse caso, é \sqrt k e r = 2. Como sabemos que a distância é 2:

2 = \sqrt{k}-2

\sqrt{k}=4

k=16

Veja a imagem:

Circunferências tangentes N31ys1