Termos da PA?

por dani1801 Ter Jun 21 2016, 14:32

A soma dos nove termos de uma PA é 63 e o produto do primeiro pelo sexto termo vale -50. Calcular o primeiro e último termo dessa PA.

Resp: a1=-5 e a9=19
ou a1=40 e a9=-26

por **ivomilton** Ter Jun 21 2016, 16:40

dani1801 escreveu:A soma dos nove termos de uma PA é 63 e o produto do primeiro pelo sexto termo vale -50. Calcular o primeiro e último termo dessa PA.

Resp: a1=-5 e a9=19
ou a1=40 e a9=-26

Boa tarde, dani1801.

Fórmula da soma dos termos:
Sn = (a1 + an)*n/2

Fórmula do enésimo termo:
an = a1 + (n-1)*r

a1 = a1
a9 = a1 + 8r

S9 = (a1 + a1+8r)*9/2
63 = (2a1 + 8r)*9/2
2*63 = (2a1 + 8r)*9

2a1 + 8r = 126/9 = 14
Simplificando tudo por 2, vem:
a1 + 4r = 7
a1 = 7 - 4r

a1 * a6 = -50
a1 * (a1+5r) = -50
(a1)² + 5a1*r = -50

Fazendo, na equação acima, a1=7-4r, fica:
(7-4r)² + 5(7-4r)*r = -50
49 - 56r + 16r² + 35r - 20r² = -50
-4r² - 21r + 49 = -50
4r² + 21r - 99 = 0

Resolvendo por Bhaskara, vem:
r' = 3
r" = -33/4

Calculando possíveis valores de a1:
a1(1) = 7-4r = 7-4*3 = 7-12
a1(1) = -5

a1(2) = -7-4r = 7 - 4(-33/4) = 7+33
a1(2) = 40

Calculando os possíveis valores de a9:
a9(1) = a1 + 8r = -5 + 8*3 = -5 + 24
a9(1) = 19

a9(2) = a1 + 8r = 40 + 8*(-33/4) = 40 - 2*33 = 40 - 66
a9(2) = -26

Um abraço.

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