Polinômio - 3º grau - UEFS

por victoria21 Ter 21 Jun 2016, 13:41

Já encontrei essa questão postada no fórum, mas está sem resolução.

As raízes do polinômio P(x) = x³ - 14x² + 63x - 90 são medidas dos lados de um triângulo. Nessas condições, a área desse triângulo, em u.a, é igual a:

A - 2√6

B - √ 10

C - 2√ 10

D - √ 14

E - 2√ 14

por **Claudir** Ter 21 Jun 2016, 14:26

Por Heron:

$\\\\S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{p[p^3-p^2(a+b+c)+p(ab+ac+bc)-abc]}\\\\p=\frac{a+b+c}{2}=7\\\\S=\sqrt{7[343-49(14)+7(63)-90]}\\\\\boxed{S=2\sqrt{14}}$

por victoria21 Qua 22 Jun 2016, 08:54

Olha, muito obrigada, mas eu tenho uma dúvida! Quais são as raízes desse polinômio? Pode me ajudar a encontrá-las?

Outra: pq p = a+b+c/2 ??

por EsdrasCFOPM Qua 22 Jun 2016, 13:07

Ele utilizou a fórmula de Heron e as relações de girard.

Heron
Polinômio - 3º grau - UEFS 6jd72q

Girard

por victoria21 Qua 22 Jun 2016, 13:45

ok, mas a+b+c/2 não seria no caso 1 - 14 +63/2, que é diferente de 7?

por EsdrasCFOPM Qua 22 Jun 2016, 17:09

Não. "a, b e c" são os lados do triângulo. Os lados são as raízes desse polinômio. Como você não sabe qual as medidas de "a, b e c" mas sabe que uma das relações de girard determina a soma das raízes (-b/a) é só usar ela para achar "p" e resolver a questão por "heron". Na fórmula de heron, ele desenvolveu mais um pouco para que as relações de girard estivessem visíveis ("a+b+c","ab+ac+bc" e "abc").

por **Claudir** Qua 22 Jun 2016, 17:38

Seja um polinômio do terceiro grau, por exemplo:

Q(x) = ax³ + bx² + cx + d

Então a somas das suas raízes (x1 + x2 + x3) é dada por Girard:

x1 + x2 + x3 = -b/a

No caso do polinômio P(x) = x³ - 14x² + 63x - 90:

a + b + c = -(-14)/1 = 14

Logo:

(a + b + c)/2 = 7

Obs.: o "p" na fórmula de Heron é o semi perímetro do triângulo, ou seja, seu perímetro dividido por 2, no caso (a + b + c)/2.