Polígonos

No polígono convexo regular ABCD..., as bissetrizes dos ângulos externos nos vértices B e D são perpendiculares. Quantas diagonais possui esse polígono?

Gabarito: 20

Poderiam postar a resolução com um desenho? Obrigado!

youhavetowork escreveu:No polígono convexo regular ABCD..., as bissetrizes dos ângulos externos nos vértices B e D são perpendiculares. Quantas diagonais possui esse polígono?

Gabarito: 20

Poderiam postar a resolução com um desenho? Obrigado!

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Trace uma circunferência de centro O (raio ~= 5 cm, para ficar visível)
Trace ABCDE com AB = BC = CD = DE (poste AB no alto)
Trace OA = OB e seja AÔB = θ
Prolongue AB para a direita
Prolongue ED até encontrar o prolongamento de AB em P
Trace a bissetriz de C^BP e a bissetriz de DCP até ambas se encontrarem em T e trace CT

AÔB = k ---> A^BC = B^CD = C^DE = 180º - θ

Ângulo externo C^BP = C^DP = θ ---> C^BT C^DT = k/2

B^CD = 180º - θ ---> Ângulo replementar (B^CD)r = 360º - B^CD = 360º - (180º - θ) --->

(B^CD)r = 180º + θ ---> B^CT = D^CT ----> B^CT = (B^CD)r/2 ---> B^CT = 90º + θ/2

Seja x o ângulo B^TD entre as bissetrizes ---> B^TC = x/2

No triângulo BCT ---> B^TC + C^BT + B^CT = 180º ---> x/2 + θ/2 + (90º + θ/2) = 180º --->

x/2 + θ = 90º ---> 2.θ = 180º - x ---> x = 90º ---> 2.θ =  180º - 90º ---> θ = 45º

Sendo n o número de lados do polígono ---> θ = 360º/n ---> 45º = 360/n ---> n = 8

d = n.(n - 3)/2 ---> d = 8.(8 - 3)/2 ---> d = 20