Udesc 2015 - Trigo/Função/Determinantes

Considerando as matrizes A e B, a função f definida por f(x) = det(A) + det(B) , então a soma de todas as raízes reais de f(x) que pertencem ao intervalo ]0,pi[ é:

tilizando a regra de Sarrus, det A = -2

detB = 2.cos(2x). sen(2x+pi/2) - [-3cos²x + 3 sen²x]

detB = 2.(cos²x - sen²x).[cos(2x)sen(pi/2)] + 3[cos²x -sen²x]

= (cos²x - sen²x). [2cos(2x)sen(pi/2) + 3]

= (cos²x - sen²x). [2cos(2x) + 3]

= 2cos²(2x) + 3cos(2x)

det(A) + det (B) = 2cos²(2x) + 3cos(2x) - 2

f(x) = det (A) + det (B)
f(x) = 2cos²(2x) + 3cos(2x) - 2
As raízes ocorrem em f(x) = 0 
Sendo cos(2x) = k:
f(x)= 2k² + 3k - 2
2k² + 3k - 2 = 0
(k + 2).(2k - 1) = 0
k = 1/2 ou -2
cos(2x) = 1/2 ou -2
Não é possível o cos ser menor que -1.
Portanto: cos(2x) = 1/2
cos(2x) = cos pi:3 = cos5pi:3
2x = pi:3
x = pi:6
2x = 5pi:3
x = 5pi:6

Somando:
5pi/6 + pi/6 = pi


Esse tópico foi duplicado; tem um igual na secção do Ens.Fundamental.

Para facilitar seus cálculos, Matemathiago, lembre-se que cos²x - sen²x = cos(2x) , facilitará mais na hora de fazer as contas para não ter trabalhos desnecessários. Boa resolução!

Lukkaz escreveu:Para facilitar seus cálculos, Matemathiago, lembre-se que cos²x - sen²x = cos(2x) , facilitará mais na hora de fazer as contas para não ter trabalhos desnecessários. Boa resolução!

 Ah, obrigado!
Eu tinha substituído a expressão que estava em função de 2x por uma função que ficou em função de x achando que em algum momento as parcelas iriam se cancelar, o que não aconteceu, e acabou que eu deixei a expressão desenvolvida...

Que nada, disponha, às vezes passam detalhes despercebidos!

boa resolução! achei que essa questão tinha saída mais simples, mas pelo jeito é trabalhosa mesmo, valeu!!!